Tag Archives: 仿射變換

答William──關於凸包的映射問題

網友William留言: 老師,您好!我不是您的學生,但是又有一個問題苦無解決辦法,因此想向老師尋求協助。問題是這樣的:群組A內有 ,,五個點。其中 ,,, 為一矩形的四個端點,而 位於矩形的範圍內或邊線上。群組B內有 ,,五個點。現在假設存在一張對應表: 查表後的值為 ,,求 查表後的值 ,並以 ,,和 ,,表示。我不知道這個問題是否適合由線性代數解決,也不曉得應該從那裡下手。懇請老師提供意見。謝謝。 Advertisements

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多變量常態分布

本文的閱讀等級:中級 在數學、統計學、物理和工程等領域,常態分佈 (normal distribution,Gaussian distribution) 是一個非常重要的連續型機率 (概率) 分布模型。本文將回答下列問題: 如何推導多變量常態分布的機率密度函數 (probability density function)? 怎麼證明服從常態分布的隨機向量的線性變換也為常態分布? 怎麼證明服從常態分布的多隨機變數的子集合亦為常態分布? 如何判別二組 (常態分布) 隨機變數集的獨立性? 具有常態分布的條件機率密度函數為何? 給定條件機率密度函數 ,如何計算 ? 為了避免繁瑣的積分運算,我們以動差生成函數 (moment generating function) 推演,這個方法的理論基礎在於動差生成函數唯一決定機率密度函數 (見“動差生成函數 (上)”)。下面先介紹標準多變量常態分布,隨後通過仿射變換 (affine transformation) 推廣至一般多變量常態分布。

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Jacobian 矩陣與行列式

本文的閱讀等級:中級 令 為一個向量函數。對於 維實向量 , 具有下列形式: , 其中 , 是 的定義域。例如,極座標至卡氏座標的轉換是一個向量函數: , 其中 ,。如果向量函數 的數學形式相當複雜,線性化是一個常用的簡化方法。針對單變量函數 ,在 附近我們可用直線 近似 。推廣至多變量函數,令 為一個仿射 (affine) 變換 (見“仿射變換”),表示如下: , 其中 是一個 階實矩陣,。下面解釋如何以仿射變換 近似向量函數 ,由此衍生 的導數矩陣,稱為 Jacobian 矩陣 (或簡稱 Jacobian),隨後介紹 Jacobian 行列式與其應用,以及 Jocabian 矩陣與 Hessian 矩陣的關係。

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答兩面光──關於3×3階與4×4階齊次轉換矩陣的差異

網友兩面光留言: 周老師您好,我目前正在研究Lagrange運動方程式,對於轉換矩陣有些疑問。由於之前看的資料座標轉換並沒有平移的問題,且矩陣皆是,經查詢平移的座標轉換後,找到了所謂的齊次轉換矩陣,為的矩陣,也看到其他以做轉換矩陣的例子(但並非以Lagrange推導運動方程式),但我在您“線性變換表示矩陣”(註:應為“仿射變換”)中也看到了的平移轉換矩陣,我想請問在座標轉換中,與的差別在哪?

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最小平方法於圖形比對的應用

本文的閱讀等級:中級 大學理工科系教導學生的東西多屬那些可以用原則、定理、規則、案例講述的「法典知識」(coded knowledge)。欲提昇個人競爭力,我們還必須透過「同化」(assimilation) 將這些濃縮的法典知識轉變為「非法典知識」(non-coded knowledge)。所謂同化意指將新的概念或方法融入整合至已經存在的體系裡,常見的程序是先抽離出專業實務領域裡的元素與架構,再利用其他領域 (例如數學) 所發展出的概念和工具來解決原本的問題。下面我以一個圖形比對 (pattern matching) 問題為例解釋同化的操作過程。見下圖,左圖P和右圖Q分別由相同數量的界標點描述其形狀,假設已知兩組界標點之間的對應關係 (如紅色虛線所示),我們的問題是設計一個不受位移、旋轉、伸縮和輕度形變影響的圖形相似度測量方式。

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仿射投影

本文的閱讀等級:中級 令 為一個有限維內積空間。考慮 的平移變換 , 其中 是一個非零向量。平移變換 並非線性變換,而是一個仿射變換 (見“仿射變換”)。設 為 的一個子空間, 自原點平移 後所構成的集合稱為仿射空間 (affine space),表示為 。 除非 ,否則 不包含零向量,因此 不是 的子空間。雖然如此,在仿射空間中仍可以實現正交投影,這篇短文解說如何將一般子空間投影轉換至仿射空間投影,另外並介紹一個基於最佳化理論的計算方法。(本文源於網友 Liang Dai 留言,以下的例子也是由他所提供。)

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仿射變換

本文的閱讀等級:初級 設 為一 階實矩陣, 是 維實向量,定義於幾何向量空間 的仿射變換 (affine transformation) 具有下列形式: 也就是說,仿射變換由一線性變換加上一平移量構成。因為 ,除非平移量 為零,仿射變換不是線性變換。仿射變換有兩個相當特殊的性質:共線 (collinearity) 不變性和比例不變性,意思是 的任一直線經仿射變換的像 (image) 仍是一直線,而且直線上各點之間的距離比例維持不變。

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幾何變換矩陣的設計

本文的閱讀等級:初級 矩陣之所以成為研究線性變換的一個有效工具乃基於兩個事實:線性變換完全由基底的映射行為所決定,以及線性複合變換可表示為矩陣乘積 (見“線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義”)。本文運用這兩個性質來設計二維歐幾里得空間裡常用的一些幾何變換矩陣。

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