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Tag Archives: 伴隨矩陣
每週問題 May 22, 2017
以伴隨矩陣的行列式表達分塊矩陣的行列式。 Suppose is , is , is , and is a number. Prove that .
每週問題 May 15, 2017
反對稱矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 是對稱或反對稱矩陣。 Let be an skew-symmetric matrix. Prove that is a symmetric matrix for odd and a skew-symmetric matrix for even .
每週問題 April 10, 2017
計算 的伴隨矩陣。 Let and be -dimensional column vectors. Prove that .
每週問題 January 23, 2017
證明正定矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 也是一個正定矩陣。 Prove that if is a real symmetric positive definite then is also a symmetric positive definite matrix.
每週問題 October 5, 2015
證明 Jacobi 行列式恆等式。 Let be an nonsingular matrix, where is . Denote the adjugate of by , where is . Prove the Jacobi identity .
克希荷夫矩陣─樹定理
本文的閱讀等級：高級 令 為一無向圖，其中 是頂點 (vertex) 集合， 是邊 (edge) 集合，頂點數 稱為圖 的階 (order)。每一條無向邊 (以下簡稱邊) 有兩個頂點為其端點 (endpoint)。因此，一邊 定義為 中兩頂點 和 組成的集合或無序對，記為 ，我們稱頂點 和 鄰接 (adjacent)，並稱頂點 和 與邊 有關聯 (incident)。以下考慮簡單圖，意思是不存在自環 (self-loop)，即一邊的兩端點為同一頂點，並且不存在重邊 (multiedge)，即任意兩相異頂點至多僅存在一連接邊。若一圖的任兩頂點之間存在一序列鄰接頂點構成的連通路徑 (path)，則稱為連通圖 (connected graph)。若 且 ，我們說 是圖 的一個子圖 (subgraph)。圖 的一個連通元件是指子圖 為一連通圖，但任意 和 … Continue reading
電影《心靈捕手》的數學問題 (一)
本文的閱讀等級：中級 美國馬里蘭大學馬尼爾‧蘇里 (Manil Suri) 教授說[1]： 在新聞媒體或文化領域，很少會出現數學這個主題。很多時候，當數學出現在一部小說或電影中時，我就會想起契訶夫諺語中的槍：如果一個數學家不發瘋，就別讓他出場。對數學的焦慮感，像厚厚的陰霾一樣籠罩着萬事萬物。 我知道關於「數學與人物」的電影法則包括 如果你是一個正常人，那麼你應當害怕或討厭數學。 如果你解開別人解不出的數學問題，那麼你不是書呆子就是精神異常者。 如果你的數學本來其爛無比，有一天卻突然擁有超強的特異能力，那麼你可能被外星人附體或腦部受到不明來源的輻射汙染。 在電影《心靈捕手》(Good Will Hunting)，麻省理工學院的朗博教授 (Gerald Lambeau) 為激勵學生上進，他在走廊黑板公布數學難題並保證答對者將可名利雙收。清潔工威爾 (Will Hunting) 擁有過人的天賦，性格叛逆亟需心理治療，但尚未惡化到發瘋的地步[2]。朗博教授和威爾同在一棟大樓工作，不過兩人沒有任何交集。本文討論朗博教授張貼的第一個問題。下面是電影片段 (字幕見[3])。
跡數與行列式的導數
本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣。若 是可導函數，定義純量─矩陣導數 為 階矩陣 (見“矩陣導數”)： 。 令 為一個 階矩陣，其中每一元 是可導函數。矩陣─純量導數 定義為 階矩陣： 。 本文介紹一些跡數 (trace) 與行列式的矩陣導數[1]，並給出完整的計算證明。我們使用的推導工具包含上述定義、微分法則，以及跡數和行列式性質。
每週問題 May 6, 2013
這是關於伴隨矩陣 的表達式問題。 Let be an matrix. (a) Show that can be expressed in the form , where ’s are matrices. (b) For the ’s defined in (a), show that , , are scalar matrices, i.e., for some scalar .
答pentiumevo──關於非零行列式存在一非零餘子式的證明
網友pentiumevo留言： 周老師您好，我想問一個與行列式有關的問題：如果已知 階行列式 ，那麼是否可以確定行列式 必有一個不為零的 階子式 呢？我的想法是，如果行列式 的所有 階子式都是零，那麼由行列式的展開定義 (對第一列展開)： 得到 (這裡 是行列式中元素 所對應的餘子式)，然而這與前提的 相違，所以行列式 必至少有一個非零的 階子式。請問這樣證明對嗎？有沒有更直觀的想法呢？是否可以由 維向量的線性獨立性出發來論證這問題呢？謝謝老師。
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