Tag Archives: 伴隨矩陣

每週問題 May 22, 2017

以伴隨矩陣的行列式表達分塊矩陣的行列式。 Suppose is , is , is , and is a number. Prove that . Advertisements

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每週問題 May 15, 2017

反對稱矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 是對稱或反對稱矩陣。 Let be an skew-symmetric matrix. Prove that is a symmetric matrix for odd and a skew-symmetric matrix for even .

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每週問題 April 10, 2017

計算 的伴隨矩陣。 Let and be -dimensional column vectors. Prove that .

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每週問題 January 23, 2017

證明正定矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 也是一個正定矩陣。 Prove that if is a real symmetric positive definite then is also a symmetric positive definite matrix.

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每週問題 October 5, 2015

證明 Jacobi 行列式恆等式。 Let be an nonsingular matrix, where is . Denote the adjugate of by , where is . Prove the Jacobi identity .

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克希荷夫矩陣─樹定理

本文的閱讀等級:高級 令 為一無向圖,其中 是頂點 (vertex) 集合, 是邊 (edge) 集合,頂點數 稱為圖 的階 (order)。每一條無向邊 (以下簡稱邊) 有兩個頂點為其端點 (endpoint)。因此,一邊 定義為 中兩頂點 和 組成的集合或無序對,記為 ,我們稱頂點 和 鄰接 (adjacent),並稱頂點 和 與邊 有關聯 (incident)。以下考慮簡單圖,意思是不存在自環 (self-loop),即一邊的兩端點為同一頂點,並且不存在重邊 (multiedge),即任意兩相異頂點至多僅存在一連接邊。若一圖的任兩頂點之間存在一序列鄰接頂點構成的連通路徑 (path),則稱為連通圖 (connected graph)。若 且 ,我們說 是圖 的一個子圖 (subgraph)。圖 的一個連通元件是指子圖 為一連通圖,但任意 和 … Continue reading

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電影《心靈捕手》的數學問題 (一)

本文的閱讀等級:中級 美國馬里蘭大學馬尼爾‧蘇里 (Manil Suri) 教授說[1]: 在新聞媒體或文化領域,很少會出現數學這個主題。很多時候,當數學出現在一部小說或電影中時,我就會想起契訶夫諺語中的槍:如果一個數學家不發瘋,就別讓他出場。對數學的焦慮感,像厚厚的陰霾一樣籠罩着萬事萬物。 我知道關於「數學與人物」的電影法則有:如果你是一個正常人,那麼你當害怕或討厭數學;如果你解開別人解不出的數學題,那麼你不是書呆子就是精神異常者;如果你的數學本來其爛無比,有一天卻突然擁有超強的特異能力,那麼你可能被外星人附體或腦部受到不明來源的輻射汙染。在電影《心靈捕手》(Good Will Hunting),麻省理工學院的朗博教授 (Gerald Lambeau) 為激勵學生上進,他在走廊黑板公布數學難題並保證答對者將可名利雙收。清潔工威爾 (Will Hunting) 擁有過人的天賦,性格叛逆亟需心理治療,但尚未惡化到發瘋的地步[2]。朗博教授和威爾同在一棟大樓工作,不過兩人沒有任何交集。本文討論朗博教授張貼的第一個問題。下面是電影片段 (字幕見[3])。

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跡數與行列式的導數

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若 是可導函數,定義純量─矩陣導數 為 階矩陣 (見“矩陣導數”): 。 令 為一個 階矩陣,其中每一元 是可導函數。矩陣─純量導數 定義為 階矩陣: 。 本文介紹一些跡數 (trace) 與行列式的矩陣導數[1],並給出完整的計算證明。我們使用的推導工具包含上述定義、微分法則,以及跡數和行列式性質。

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每週問題 May 6, 2013

這是關於伴隨矩陣 的表達式問題。 Let be an matrix. (a) Show that can be expressed in the form , where ’s are matrices. (b) For the ’s defined in (a), show that , , are scalar matrices, i.e., for some scalar .

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答pentiumevo──關於非零行列式存在一非零餘子式的證明

網友pentiumevo留言: 周老師您好,我想問一個與行列式有關的問題:如果已知 階行列式 ,那麼是否可以確定行列式 必有一個不為零的 階子式 呢?我的想法是,如果行列式 的所有 階子式都是零,那麼由行列式的展開定義 (對第一列展開): 得到 (這裡 是行列式中元素 所對應的餘子式),然而這與前提的 相違,所以行列式 必至少有一個非零的 階子式。請問這樣證明對嗎?有沒有更直觀的想法呢?是否可以由 維向量的線性獨立性出發來論證這問題呢?謝謝老師。

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