Tag Archives: 伴隨矩陣

每週問題 November 26, 2012

已知 ,問 為何? If , find . Advertisements

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答鄧勇──關於λ-矩陣的伴隨矩陣關係式

網友鄧勇留言: 老师:您好!如何证明λ-矩阵和其伴随矩阵的关系式 呢?我百思不得其解,是否这个关系式根本就不成立?我已经看了“伴随矩阵”,内容都懂。我疑惑的是您在“Cayley-Hamilton 定理的一个代数证明方法”一文中,设 后,矩阵 则不是数字矩阵了,那么后面证明中要用到的主要关系式 对非数字矩阵依然成立吗?如果不成立,那么后面就得不到定理证明;如果主要关系式是正确的,又应该如何证明呢?显然它的证明与数字矩阵的证明是不一样的,对于它的证明,我试了很多方法,仍然证不出来,烦请老师给指点迷津。谢谢!

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三階逆矩陣公式

本文的閱讀等級:初級 給定 階矩陣 ,若存在一個同階矩陣 使得 ( 表示 階單位矩陣),則 稱為可逆 (invertible) 或非奇異 (nonsingular) 矩陣。在這個情況下, 由 唯一決定[1],稱為 的逆矩陣或反矩陣,記作 。可逆矩陣 的一個充要條件為 。若 階 是可逆的,則 ,逆矩陣公式如下: 。 你可能好奇 階可逆矩陣的逆矩陣公式是甚麼樣子?底下介紹三個逆矩陣算法: 高斯─約當法 (Gauss-Jordan method), 伴隨矩陣 (adjugate) 衍生的行列式表達式, Cayley-Hamilton 定理導出的矩陣多項式。 我們先用這些方法推導 階逆矩陣公式,隨後再推廣至 階矩陣。

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伴隨矩陣

本文的閱讀等級:初級 若 是可逆的,則 。行列式與逆矩陣顯然有密切的關係,事實上,從行列式計算公式──餘因子展開 (亦稱 Laplace 展開)──可導出一般 階矩陣 的逆矩陣公式 (見“三階逆矩陣公式”)。令 代表移除 的第 列 (row) 與第 行 (column) 之後得到的 階子陣。我們稱 為餘子式 (minor),並定義 的餘因子 (cofactor) 為 。 對於任一列指標 ,行列式的餘因子公式 (見“行列式的運算公式與性質”) 如下: , 將上式表示成兩個矩陣之積的主對角元: 。 請注意,等號左邊的第一個矩陣是 ,第二個矩陣是餘因子矩陣 的轉置,唯有如此安排才能使乘積 的所有主對角元等於 。為甚麼 的非主對角元全都是零?以 的第1列和 的第2行相乘為例,如何證明 … Continue reading

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Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式

本文的閱讀等級:初級 考慮下列 階 Vandermonde 矩陣 , 記為 或 ,其中 。Vandermonde 矩陣 有一個簡單的行列式公式,如下 (見“特殊矩陣 (8):Vandermonde 矩陣”): 。 當 互異時,, 是可逆矩陣。本文利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式推導 Vandermonde 矩陣 的逆矩陣。

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每週問題 December 28, 2009

本週問題是證明伴隨矩陣 的一些性質。(原問題有個打印錯誤,已訂正。) 點選問題↓ Pow-Dec-28-09 參考解答↓ PowSol-Dec-28-09

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Cayley-Hamilton 定理的一個代數證明方法

本文的閱讀等級:初級 Cayley-Hamilton 定理是線性代數理論中的一個重要定理。設 為 階矩陣 的特徵多項式,同樣形式的矩陣多項式滿足 ,即 為零矩陣。“Cayley-Hamilton 定理”一文曾經以矩陣三角化程序證明此定理,這篇短文介紹一個簡潔的矩陣代數證明方法,主要關鍵在於引入伴隨 (adjugate) 矩陣並發揮矩陣運算技巧。

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矩陣和之行列式 (下)

本文的閱讀等級:中級 在“矩陣和之行列式 (上)”,我們介紹了矩陣行列式引理,簡述如下。設 為 階矩陣, 和 為 維向量,對於形式為 的矩陣,有下面這個行列式計算公式: 上式中 是 的伴隨矩陣。下面我們討論一些具有 形式的矩陣,並利用矩陣行列式引理計算其行列式。

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矩陣和之行列式 (上)

本文的閱讀等級:中級 令 和 為 階矩陣。矩陣乘積 的行列式存在一個優美的公式 但矩陣和 的行列式卻沒有對應的簡潔公式。考慮 階矩陣,行列式對於任一列都是線性函數,我們可將 展開: 上式指出對於 階行列式, 可以表示為 個行列式之和,其中各個行列式的每列由 或 的對應列複製得來,這解釋了為何矩陣和之行列式不存在簡單的化約公式。

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克拉瑪公式的證明

本文的閱讀等級:初級 克拉瑪公式 (Cramer’s rule),也譯作克萊姆法則,是一個歷史悠久的線性代數定理,它利用行列式來計算線性方程 的解,但限制 必須是一個 階矩陣。克拉瑪公式的運算效率遠不如高斯消去法,故並未應用於大尺寸線性方程,通常僅使用於理論推算。我一直不明白為什麼高中數學要講授克拉瑪公式,是因為它的形式優美簡潔,還是它的運算法則帶有一種數學神秘性?許多中學生不明瞭這個公式的由來,往往在驚嘆過後仍然只能強忍痛苦死記硬背。

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