Tag Archives: 伴隨

答Avis──關於行秩等於列秩的幾何背景

網友Avis留言: 老师你好,经常关注你的Blog“线性代数启示录”,很喜欢里面的内容。这里有一个问题想请教一下,是学习线性代数多年来觉得比较有意思的地方,为什么矩阵的行秩等于列秩?当然我这里问的不是怎么证明,而是想问是否有更为本质的几何和物理背景?对于几何背景不限于行空间的维数等于列空间维数这样的,而是更想知道到底是怎么样一种结构,使得行列空间秩相同。我之前一直把这个结论,认为是数学的一种“巧合”。在这样的“巧合”之下我们对于一个矩阵就只用定义一个秩 (因为行列秩相同)。 Advertisements

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答LCB──關於矩陣乘積的逆矩陣、轉置與共軛轉置的形式

網友LCB留言: 请问老师, ( and are well defined.) 关于这三个公式,有没有更本质的规律蕴含在里面?

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線性泛函與伴隨

本文的閱讀等級:高級 線性泛函 (linear functional) 為一從向量空間 映射至純量 的線性變換 (見“線性泛函與對偶空間”),如下例, 是一個定義於 的線性泛函。我們經常將 視為向量 和 的內積,也就是說,對於 ,線性泛函 可寫成 ,其中 。根據這個觀察,我們推想定義於內積空間 的線性泛函 ,是否都可以表示為 ?這裡 代表廣義內積運算 (見“內積的定義”)。再看另一個例子,令 是所有二次實多項式形成的向量空間,其中多項式 和 的內積定義為 對於 ,考慮以下函數 因為積分是線性運算,可知 是一個定義於 的線性泛函。同樣的問題,線性泛函 可否表示成 其中 屬於 ?注意, 不屬於 ,此例 不像前一個例子那麼容易確定,因此更凸顯下面這個定理的威力──它不僅證明原先的猜想,同時也給出一個計算方法。

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