Tag Archives: 偽逆矩陣

本文的閱讀等級：高級 令 是 階， 是 階， 是 階矩陣。考慮線性方程 ， 其中 是 階未知矩陣。我們曾經在前文“AXB=C 有解的充要條件”介紹 有解的兩個充要條件。本文再補充一個基於 Moore-Penrose 偽逆矩陣 (pseudo-inverse) 的充要條件，並給出 的通解表達式。對於 階矩陣 ，存在唯一的 階矩陣 ，稱為 Moore-Penrose 偽逆矩陣，使得 ，， 且 (見“Moore-Penrose 偽逆矩陣”)。線性方程 存在解的三個等價充要條件整理於下： 存在矩陣 和 使得 且 ； 且 ； 。

本文的閱讀等級：高級 若 為一個 階矩陣，且 ，則 稱為滿秩 (full rank)，此時存在唯一一個 階矩陣 使得 ，我們稱 為 的逆矩陣或反矩陣 (inverse)，記為 。方陣的逆矩陣如何延伸推廣至 階矩陣 ？最直接的方法是求一個 階矩陣 使 越接近零矩陣越好。這個概念可具體化為下列最佳化問題： ， 其中 表示 Frobenius 範數 (見“矩陣範數”)。為了獲得唯一解，我們另主張 必須具有最小的 Frobenius 範數。將 以行向量 (column vector) 表示為 ，則 ， 其中 是歐幾里得空間 的第 個標準單位向量 (第 … Continue reading →

本文的閱讀等級：高級 令 為一個 階實矩陣且 。設矩陣 的奇異值分解為 ，其中 和 分別是 階和 階正交矩陣 (orthogonal matrix)，滿足 和 ， 階矩陣 包含可逆分塊 ，主對角元 為非零奇異值。偽逆矩陣 (pseudoinverse) 定義為下列 階矩陣 (見“Moore-Penrose 偽逆矩陣”)： ， 其中 是 階對角矩陣。偽逆矩陣 的表達式即為其奇異值分解。見下例 (取自“SVD 於剖析線性方程的應用”)： 偽逆矩陣計算如下： 。 偽逆矩陣 與轉置矩陣 皆為 階，兩者同為 映至 的線性變換。下文以問答方式解說偽逆矩陣與轉置矩陣的一些性質。開始之前，請讀者先參閱背景文章：“奇異值分解(SVD)”和“通過推導偽逆矩陣認識線性代數的深層結構”。