Tag Archives: 傅立葉級數

每週問題 July 21, 2014

這是內積空間於傅立葉級數的應用問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學A)”。 Let be defined as follows: Also, define Find the coeffiicents such that is minimized.

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離散傅立葉轉換

本文的閱讀等級:中級 考慮定義於區間 的 -週期函數 的指數傅立葉級數 (見“傅立葉級數 (下)”): , 其中複傅立葉係數為 。 若 滿足 Dirichlet 條件 (見“傅立葉級數 (上)”),可以證明 ,在此情況下,往後我們不再區分函數 與其傅立葉級數 ,而一律以 表示。本文將解除 是週期函數的限制,以下僅假設 是有界的。當 ,傅立葉級數可推廣為傅立葉轉換 (Fourier transform)。還有,若 不再是連續函數而是一有限數列,傅立葉級數又可延伸為離散傅立葉轉換 (discrete Fourier transform,簡稱 DFT)。本文將介紹這兩種轉換的推導過程,並解說離散傅立葉轉換的線性代數性質。

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傅立葉級數 (下)

本文的閱讀等級:中級 上文“傅立葉級數 (上)”介紹了 -週期實函數 的傅立葉級數 為餘弦和正弦函數組成的無窮級數: , 其中傅立葉係數 和 的計算公式如下: 若 是一奇函數,則 ,故 ,。另一方面,若 是一偶函數,則 ,故 ,。   -週期函數的傅立葉級數 考慮一週期等於 ,定義於區間 的週期函數 。利用變數變換 可使區間 變換至 ,將 代入 ,即得到 的傅立葉級數: , 將 代入 的傅立葉係數的積分公式,可得 對於 -週期函數 ,任何區間 皆可使用,如何選擇 值取決於便利性和個人偏好,常見的設定有 或 。

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傅立葉級數 (上)

本文的閱讀等級:中級 考慮一有限維內積空間 ,且 。任意 的內積記為 。令 為 的一組基底。向量空間 中任一向量 可唯一表示成 的線性組合: 。 收集所有係數 即構成向量 參考基底 的座標向量 ,兩者之間具有一對一的映射關係: , 我們稱 所屬的向量空間 與 所屬的幾何向量空間 是同構的 (isomorphic,見“同構的向量空間”)。欲得到 的座標向量 必須解開一 階線性方程組,這不是我們樂見的事。但如果 是一組單範正交基底 (orthonormal basis),也就是說 若 , 若 ,則完全不需要經過解方程式過程即可求得 。利用內積的半雙線性性質 (見“內積的定義”),可得 故 有下列正交分解展開式: , 其中 … Continue reading

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從幾何向量空間到函數空間

本文的閱讀等級:中級 基礎線性代數課程常將討論的向量空間侷限於有限維幾何向量空間 ,主要的原因有兩個:第一是不需要透過座標映射便可將矩陣結構與向量空間結合在一起;第二是幾何向量空間,譬如 與 是高中座標幾何的延伸,由此較容易建立起向量空間的觀念。本文採用問答方式,一步步系統化地介紹如何將幾何向量空間延伸推廣至函數空間。

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