Tag Archives: 傅立葉轉換

動差生成函數 (下)

本文的閱讀等級:中級 延續前文“動差生成函數 (上)”,本文將探討連續型隨機變數的動差生成函數。連續型隨機變數 的值域為全部實數或由一部分區間組成,即 ,其中 。連續型隨機變數 的機率分布一般以下面兩種方式表示: 機率密度函數 (probability density function) 滿足 。 累積分布函數 代表 。 連續型隨機變數 的期望值 和變異數 定義為 我們稱 的期望值為 的 次動差,表示如下: , 前提是上式必須收斂。連續型隨機變數 的動差生成函數定義為 , 其中最後一個等號係因 是隨機變數的線性算子。計算 在 的 次導數可得 ,因為 立得 。

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離散傅立葉轉換

本文的閱讀等級:中級 考慮定義於區間 的 -週期函數 的指數傅立葉級數 (見“傅立葉級數 (下)”): , 其中複傅立葉係數為 。 若 滿足 Dirichlet 條件 (見“傅立葉級數 (上)”),可以證明 ,在此情況下,往後我們不再區分函數 與其傅立葉級數 ,而一律以 表示。本文將解除 是週期函數的限制,以下僅假設 是有界的。當 ,傅立葉級數可推廣為傅立葉轉換 (Fourier transform)。還有,若 不再是連續函數而是一有限數列,傅立葉級數又可延伸為離散傅立葉轉換 (discrete Fourier transform,簡稱 DFT)。本文將介紹這兩種轉換的推導過程,並解說離散傅立葉轉換的線性代數性質。

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特殊矩陣 (7):循環矩陣

本文的閱讀等級:高級 具有以下形式的 階矩陣稱為循環矩陣 (circulant matrix): 例如, 循環矩陣 的每一列即為上一列往右循環移動一元,因此各列不過就是第一列的循環排列。根據這項觀察,我們定義下面的基本循環排列矩陣 (也稱為主要排列矩陣) 抽出循環矩陣 相同的元, 可分解為 不難驗證 為 ,, 和 的線性組合: 推廣至一般情況,任一 階循環矩陣 可表示為 反之,可表示為上述形式的矩陣必為循環矩陣。這裡 是 階基本循環排列矩陣,注意 , 的組合係數 正是第一列的元。因為有這個簡單的表示形式,循環矩陣存在一些優美的性質。   判別方法 若 是一 階循環矩陣,則 ,反之亦然。因為循環矩陣 可唯一表示成 。使用 ,

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