Tag Archives: 克拉瑪公式

不說廢話──克拉瑪公式的證明

本文的閱讀等級:初級 You know that I write slowly. This is chiefly because I am never satisfied until I have said as much as possible in a few words, and writing briefly takes far more time than writing at length. ― Carl Friedrich … Continue reading

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行列式的列行取代運算

本文的閱讀等級:初級 看下面這個問題:已知13282,28565,57971,68382,和94279被29整除。令 。 在不實際算出行列式的前提下,證明 也被29整除。

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超迷你克拉瑪公式的證明

本文的閱讀等級:初級 考慮線性方程 ,其中 階係數矩陣 可用行向量表示為 , 是 維常數向量,且 是 維未知向量。若 是可逆矩陣,克拉瑪公式給出以下方程解: , 其中 表示以向量 取代 的第 行 (即 ) 而得的 階矩陣: 。 克拉瑪公式有多種不同的證明方法,“克拉瑪公式的證明”使用了矩陣乘積的行列式可乘公式,“再談克拉瑪公式的證明”運用選擇消滅技巧化簡方程式,“克拉瑪公式的簡易幾何證明”則建立於行列式的幾何性質上。本文再介紹另一個非常簡潔的證明方法 (此法由網友 andy6829 提供)。

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克拉瑪公式的簡易幾何證明

本文的閱讀等級:初級 設 為一 階實數可逆方陣,,克拉瑪公式 (Cramer’s rule) 給出線性方程 解,如下: , 其中 表示以 取代 的第 行後得到的 階方陣。在“克拉瑪公式的證明”一文,我們曾經介紹一個操作矩陣代數的證明法,這篇短文將解說如何以行列式的幾何性質推導線性方程解。

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線代求生指南:矩陣代數篇

求生指南不是完全攻略手冊,注意這個關鍵字──求生,既非戰勝亦非征服。求生指南不是要教你成為專業線代殺手,想要奉獻畢生心力練就絕世武功的朋友,請前往其他訓練機構尋求幫助。我撰寫這份求生指南的目的是提供那些只擁有少許時間與資源的一般大眾──那些拒絕成為下一個線代受害者的良善公民──一個臨危逃生指引。這裡所記載的求生之道絕非紙上談兵,其中部分來自幸運生還者的口述回憶,部分取自我個人的慘痛經驗。不論基本原則、施行方法或戰鬥技巧均已通過無數次嚴苛的現實考驗,普遍被專家學者證明確實有效。有句話說:知識是求生的唯一法寶。這話只說對了一半,剩下來的問題是讀者個人有多堅強的求生意志? 這段文字的靈感來自於 The Zombie Survival Guide (中譯:打鬼戰士1:世界末日求生指南) 的前言。不必懷疑,這書正放在我的書架上。

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再談克拉瑪公式的證明

本文的閱讀等級:初級 在“克拉瑪公式的證明”一文,我們介紹了一個僅使用矩陣乘法運算和矩陣乘積行列式性質的簡易證明方法。該文提及高中數學教師可能利用向量外積 (cross product,或稱向量積) 來推導三階線性聯立方程的克拉瑪公式,但你不免好奇如何由三階公式推廣至更高階公式?回答這個疑問的途徑是通過一個稱為「選擇消滅」(selective annihilation) 的數學技巧。

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克拉瑪公式的證明

本文的閱讀等級:初級 克拉瑪公式 (Cramer’s rule),也譯作克萊姆法則,是一個歷史悠久的線性代數定理,它利用行列式來計算線性方程 的解,但限制 必須是一個 階矩陣。克拉瑪公式的運算效率遠不如高斯消去法,故並未應用於大尺寸線性方程,通常僅使用於理論推算。我一直不明白為什麼高中數學要講授克拉瑪公式,是因為它的形式優美簡潔,還是它的運算法則帶有一種數學神秘性?許多中學生不明瞭這個公式的由來,往往在驚嘆過後仍然只能強忍痛苦死記硬背。

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