Tag Archives: 內積空間

歐幾里得空間的數學結構

本文的閱讀等級:中級 歐幾里得空間 是有序數組 (稱為點或向量) 形成的集合,其中 為實數。在歐氏幾何中,譬如平面幾何與空間幾何,我們可以計算兩點之間的距離、多個向量的線性組合 (向量加法與純量乘法)、向量的長度,以及兩個向量之間的夾角。數學家將這些概念予以抽象化,並用公設化方式定義出不同的數學結構,稱為空間。在數學中,空間一詞並不單獨存在,我們可以稱 是一個集合,但不講 是一個空間。粗淺地說,空間是一個賦予某種數學結構的集合,該數學結構決定空間的名稱,例如線性代數讀者熟悉的向量空間。本文概述歐氏空間 的一些數學結構,背後的目的是將有限維空間延伸至無限維空間,其中最重要的一個特例是希爾伯特 (Hilbert) 空間。 Advertisements

Posted in 希爾伯特空間 | Tagged , , , , , , , , | 18 Comments

每週問題 February 23, 2015

利用內積空間的基底表達兩個向量的內積。 If is an orthonormal basis for an inner-product space , show that for every .

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

平行四邊形恆等式

本文的閱讀等級:中級 令 為一內積空間。若 的向量範數 (長度) 由內積定義,,則有平行四邊形恆等式 (parallelogram identity),即任意 滿足 。 使用內積性質便可證明 (“內積的定義”),如下: 平行四邊形恆等式的命名來自當 ,如果採用歐氏範數,一個平行四邊形的兩條對角線長度的平方和等於它四邊長度的平方和 (見下圖)。反過來講,若平行四邊形恆等式成立,賦範向量空間 (定義了向量範數的向量空間) 必然是一內積空間嗎?答案是肯定的,下面將詳細說明。

Posted in 線性代數專欄, 內積空間 | Tagged , , , | Leave a comment

答f87110jim──關於矩陣的大小與方向

網友f87110jim留言: 老師我想問一個問題,因向量包含有大小跟方向,而矩陣都有包含嗎?那集合裡面的矩陣是向量嗎 (假如此矩陣為3×3,4×4,5×5…)?

Posted in 答讀者問, 向量空間 | Tagged , , | 5 Comments

每週問題 December 17, 2012

本週問題是利用 Gram-Schmidt 正交化求正交基底函數。 Let be the space of continuous functions on the interval with the inner product defined by . Let . Apply the Gram-Schmidt algorithm to the basis to obtain an orthogonal basis for .

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 August 23, 2010

這是內積空間應用於向量成分分解的基本問題。 Pow-August-23-10 參考解答 PowSol-August-23-10

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

內積的定義

本文的閱讀等級:初級 在幾何向量空間 ,向量 和 的點積 (dot product),或稱內積 (inner product),定義為 。 若將向量 與 寫成 階矩陣,即行向量 (column vector),則其內積可用矩陣乘積表示如下: 。 上式提示我們轉置矩陣的一個重要用途在於計算內積,稍後將詳細說明。多數讀者在中學時就被告知內積的定義,並學會如何用向量內積解決座標幾何問題以及計算物理學的合力與功。事實上,內積運算並不限定於具有幾何座標系統的向量空間,廣義向量空間也有合理的內積運算。溫故而知新,我們先嘗試從幾何向量找出內積定義的根基,進而將內積運算抽象推廣至廣義向量空間。

Posted in 線性代數專欄, 內積空間 | Tagged , , , , , | 29 Comments