Tag Archives: 內積空間

本文的閱讀等級：中級 令 為一內積空間。若 的向量範數 (長度) 由內積定義，，則有平行四邊形恆等式 (parallelogram identity)，即任意 滿足 。 使用內積性質便可證明 (“內積的定義”)，如下： 平行四邊形恆等式的命名來自當 ，如果採用歐氏範數，一個平行四邊形的兩條對角線長度的平方和等於它四邊長度的平方和 (見下圖)。反過來講，若平行四邊形恆等式成立，賦範向量空間 (定義了向量範數的向量空間) 必然是一內積空間嗎？答案是肯定的，下面將詳細說明。

本文的閱讀等級：初級 在幾何向量空間 ，向量 和 的點積 (dot product)，或稱內積 (inner product)，定義為 。 若將向量 與 寫成 階矩陣，即行向量 (column vector)，則其內積可用矩陣乘積表示如下： ， 其中 表示行向量 的轉置 (transpose)。上式提示我們轉置的一個重要用途在於計算內積，稍後將詳細說明。多數讀者在中學時就被告知內積的定義，並學會如何用向量內積解決座標幾何問題以及計算物理學的合力與功。事實上，內積運算並不限定於具有幾何座標系統的向量空間，廣義向量空間也有合理的內積運算。溫故而知新，我們先嘗試從幾何向量找出內積定義的根基，進而將內積運算推廣至廣義向量空間。