Tag Archives: 內積

內積與外積是怎麼來的?

本文的閱讀等級:初級 在歐幾里得空間 ,兩個向量的內積與外積是怎麼來的?從決定論 (determinism) 的觀點,內積與外積之所以如此定義,可以用先前的數學發展和事態來解釋。愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 於1843年提出四元數 (quaternion) 的概念。一個四元數是一個實數加上三個虛部 (見“四元數”),記為 ,其中 是實數,虛數單位 滿足基本公式 。1878年,英國數學家克利福德 (William Kingdon Clifford)[1] 出版 Elements of Dynamic,書中首次用純量積 (scalar product) 與向量積 (vector product) 表示兩個四元數的積。今天,我們習慣稱純量積為點積 (dot product) 或內積 (inner product),向量積則稱為外積或叉積 (cross product)。令 ,, 為 的標準單位向量。一個四元數可用純量─向量和表示為 ,其中 … Continue reading

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每週問題 October 14, 2013

這是關於線性泛函的系列問題。 Let be an inner product vector space over . A linear functional on is a linear transformation from to and the dual space of , denoted by , is the vector space of all linear functionals on . (a) … Continue reading

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每週問題 March 11, 2013

這是從矩陣乘積的跡數判斷矩陣性質的問題。 Let be an real matrix. Prove the following statements. (a) If for every real matrix , then . (b) If for every real matrix with , then , where is any real number.

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每週問題 August 23, 2010

這是內積空間應用於向量成分分解的基本問題。 Pow-August-23-10 參考解答 PowSol-August-23-10

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每週問題 May 10, 2010

從一向量集彼此內積的正負號也可以推論出它們的獨立關係。 點選問題↓ Pow-May-10-10 參考解答↓ PowSol-May-10-10

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每週問題 May 3, 2010

本週問題是關於由線性獨立向量內積所構成矩陣的性質證明。 點選問題↓ Pow-May-3-10 參考解答↓ PowSol-May-3-10

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線代入道要門論

序 線性代數者,代數之支也。此學究方程解而來,以結構為本,空間為體,變換為法,演算為用耳[一]。凡學者斷不可不知,而亦至不易究也;蓋其體系洸洋瑰麗,理論精微博大,匯泰西疇人(註一)之大略,集百家藝學(註二)之菁華。初,制定義,設公理;及後,論證明,演算法。徐光啟曰:「不用為用,眾用所基。」線代一門,取經用宏,肆應不窮,可謂當今應數之大功,算學之大成耳。是故銳心學者當奮不顧身,戮力鑽研,索理究解,切毋思逸而廢焉。

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Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解

本文的閱讀等級:初級 令 為幾何向量空間 的一個子空間,,。假設 為子空間 的一組已知基底。在一些應用時機,例如最小平方法,我們希望從 建構出另一組單範正交基底 (orthonormal basis) ,亦即每一 且 ,。底下先考慮實幾何向量空間,隨後再推廣至一般內積空間 (見“內積的定義”,“從幾何向量空間到函數空間”)。

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正交投影──威力強大的線代工具

本文的閱讀等級:中級 具有內積功能的向量空間簡稱為內積空間,線性代數中許多重要理論和應用都從內積空間衍生出來,例如基底正交化,QR 分解,最小平方法,矩陣譜定理,甚至奇異值分解 (singular value decomposition) 也和內積空間密切相關。在內積空間中,最重要的運算除了內積本身,另一個威力強大的代數工具就是將任意向量分解為正交分量之和的正交投影 (orthogonal projection)。本文介紹兩個推導正交投影矩陣方法,第一個是歸納法,從一道簡單的幾何問題開始──將向量投影至一直線,繼續推廣可導出至一般子空間的正交投影。這個方法較具幾何直觀,適宜初學者學習。另一個方法是將正交性質加入向量空間的斜投影,再利用矩陣代數推導正交投影矩陣。本文內容限定實幾何向量空間 ,如欲延伸至 ,僅需將轉置 改為共軛轉置 。

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Schwarz 不等式

本文的閱讀等級:中級 Schwarz 不等式是一條應用廣泛的不等式,常見於線性代數的內積空間,數學分析的無窮級數,以及連續函數之積的積分。Schwarz 不等式給出內積空間中兩個向量的內積大小與各自長度之積的不等關係。若 與 為內積空間 的向量,Schwarz 不等式說: , 其中 代表 與 的內積。

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