Tag Archives: 共軛轉置

矩陣相似於其共軛轉置的充要條件

本文的閱讀等級:中級 任一 階複矩陣 相似於其轉置矩陣 (見“矩陣與其轉置的相似性”),但 未必相似於其共軛轉置 (即 ),原因在於它們的特徵值可能相異。例如, 有特徵值 和 , 是虛數單位,但 的特徵值為 和 。矩陣與其共軛轉置是否相似完全由 Jordan 典型形式決定,本篇短文將討論這個主題。 Advertisements

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答Avis──關於行秩等於列秩的幾何背景

網友Avis留言: 老师你好,经常关注你的Blog“线性代数启示录”,很喜欢里面的内容。这里有一个问题想请教一下,是学习线性代数多年来觉得比较有意思的地方,为什么矩阵的行秩等于列秩?当然我这里问的不是怎么证明,而是想问是否有更为本质的几何和物理背景?对于几何背景不限于行空间的维数等于列空间维数这样的,而是更想知道到底是怎么样一种结构,使得行列空间秩相同。我之前一直把这个结论,认为是数学的一种“巧合”。在这样的“巧合”之下我们对于一个矩阵就只用定义一个秩 (因为行列秩相同)。

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答LCB──關於矩陣乘積的逆矩陣、轉置與共軛轉置的形式

網友LCB留言: 请问老师, ( and are well defined.) 关于这三个公式,有没有更本质的规律蕴含在里面?

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轉置與共軛轉置

本文的閱讀等級:初級 矩陣具有加法與純量乘法運算。除了這兩個源自純量算術的運算,矩陣還有一個獨特的運算,稱為轉置 (transpose)。令 為 階矩陣。我們定義 的轉置,記作 ,為一個 階矩陣,其中 。換句話說,將 的列行對調即得轉置矩陣 ,如下例, 。 明顯地,。若 表示成分塊矩陣,則 不僅置換列行分塊,每一個分塊也必須隨之轉置,例如, 。 一般而言,轉置適用於實矩陣。在許多應用中,複矩陣的轉置常會附加共軛運算,稱為共軛轉置 (conjugate transpose)。複數 的共軛定義為 ,其中 且 。類似複數的共軛運算, 的共軛矩陣為 ,共軛轉置則為 ,或簡記為 。例如, 。 如同轉置運算,連續兩次共軛轉置不改變矩陣,。若 是實矩陣,共軛轉置退化成轉置,即 。下面我們討論 (共軛) 轉置與其他矩陣運算的結合,並介紹一些由 (共軛) 轉置所界定的特殊矩陣。

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