Tag Archives: 冪矩陣

本文的閱讀等級：中級 達文西說：「簡單是最終極的細緻。」(Simplicity is the ultimate sophistication.) 就數學而言，簡單不意味平庸，反而是優雅的體現。本文從一個簡單的問題開始，並致力於發展簡單的解法。令 ，求 。典型的問題通常有典型的解法，對角化 (diagonalization) 是目前最常用的冪矩陣算法。矩陣 有相異特徵值 和 ，對應特徵向量 和 ，故可對角化為 。 利用上式立得 。 不過，遺憾的是對角化並不適用於所有的矩陣。若 ，則 有兩個特徵值 ，但其特徵空間僅含一線性獨立向量 ，即知 不可對角化 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)。針對不可對角化矩陣，典型的方法是分解出 的 Jordan 形式 ，接著計算 (見“利用 Jordan form 解差分方程與微分方程”)。表面上，計算冪矩陣並不很困難，使用 Jordan 典型形式似乎有些「小題大作」。倘若不採用 Jordan 分解，那麼還有其他方法嗎？繼續閱讀前，建議讀者先花個幾分鐘想一想。