Tag Archives: 冪矩陣

每週問題 December 12 , 2016

這是關於半幻方 (semi-magic) 矩陣的分解式問題。 An matrix is said to be a semi-magic matrix if the sums of the rows and columns are all equal. Show that a semi-magic matrix can be decomposed as such that for integer , . Advertisements

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答Eden──關於么正矩陣的冪

網友Eden留言: 老師您好,最近因為研究上發現 unitary 矩陣的一個現象:假設 為一個 的 unitary 矩陣, 的 次方 ( 為某個 的倍數) 必定會變成單位矩陣。自己一直從 unitary 的特徵值 (特徵值大小都會是1) 變化去思考,但目前還是只知道次方項 會是 的倍數,想了解 和 之間的確切關係。不知道老師對我提的問題是否清楚,方便給點提示或是思考方向之類的嗎?

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每週問題 July 7, 2014

這是關於冪矩陣的計算問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學A)”的部分試題。 Let . Find the minimum positive integer such that .

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答求知慾──關於分塊矩陣的冪矩陣

網友求知慾留言: 周老師您好:近期翻看線代啟示錄,關於分塊矩陣有些問題,請問是否能有方法將其作次方?若是普通矩陣可利用對角化作 次方,分塊矩陣則只翻閱到特殊矩陣的對角化,是否有其他分塊矩陣能夠利用對角化?或是有其他分法可以進行分塊矩陣的 次方?謝謝。

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利用 Cayley-Hamilton 定理計算矩陣函數

本文的閱讀等級:中級 達文西說:「簡單是最終極的細緻。」(Simplicity is the ultimate sophistication.) 就數學而言,簡單不意味平庸,反而是優雅的體現。本文從一個簡單的問題開始,並致力於發展簡單的解法。令 ,求 。典型的問題通常有典型的解法,對角化 (diagonalization) 是目前最常用的冪矩陣算法。矩陣 有相異特徵值 和 ,對應特徵向量 和 ,故可對角化為 。 利用上式立得 。 不過,遺憾的是對角化並不適用於所有的矩陣。若 ,則 有兩個特徵值 ,但其特徵空間僅含一線性獨立向量 ,即知 不可對角化 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)。針對不可對角化矩陣,典型的方法是分解出 的 Jordan 形式 ,接著計算 (見“利用 Jordan form 解差分方程與微分方程”)。表面上,計算冪矩陣並不很困難,使用 Jordan 典型形式似乎有些「小題大作」。倘若不採用 Jordan 分解,那麼還有其他方法嗎?繼續閱讀前,建議讀者先花個幾分鐘想一想。

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每週問題 July 30, 2012

這是一特殊矩陣的冪矩陣計算問題,取自2009年台大資訊研究所入學試題。 Pow-July-30-12 參考解答 PowSol-July-30-12

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特殊矩陣 (13):反對稱矩陣

本文的閱讀等級:中級 若 階矩陣 滿足 ,即 ,我們稱 為反對稱矩陣 (anti-symmetric) 或斜對稱矩陣 (skew-symmetric)。因為 ,反對稱矩陣的主對角元必為零,推得 。下為反對稱矩陣一例: 。 僅由外表很難一窺反對稱矩陣蘊含的性質,下面我們探討反對稱矩陣在向量空間、行列式、特徵值以及矩陣函數的一些表現。在一般情況下,反對稱矩陣限定於實矩陣,推廣至複矩陣則將轉置替換為共軛轉置,這時稱為斜─Hermitian 矩陣。

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值域—零空間分解

本文的閱讀等級:中級 設 和 為有限維向量空間 的兩個子空間,且 。子空間 和 的直和 (direct sum) 也是一個子空間 (見“補子空間與直和”), 。 如果 ,我們說 和 在向量空間 中互為補子空間 (complementary subspace),並稱 為 的直和分解。有別於一般矩陣分解如 LU 分解、QR 分解,直和分解的作用在於切割向量空間,例如, 的 XY 平面 和 Z 軸 是一個直和分解。明顯地, 或 存在無窮多直和分解。如果給定一 階矩陣 ,如何由 的四個基本子空間衍生具實用價值的直和分解?本文將探討這個問題[1]。以下將向量空間限定於 ,但本文所述內容皆可延伸至 ,惟 必須改為 … Continue reading

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每週問題 March 22, 2010

本週問題是有關矩陣和之冪矩陣的跡數問題。 點選問題↓ Pow-March-22-10 參考解答↓ PowSol-March-22-10

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矩陣指數

本文的閱讀等級:初級 對於 階矩陣 ,我們可以定義矩陣指數 (matrix exponential),方法是仿照指數函數的冪級數定義: 將變數 以矩陣 取代,常數 以單位矩陣 取代,矩陣指數 即為下列冪矩陣級數 對於任一 ,指數函數 總會收斂;同樣地,對於任一 ,矩陣指數 也總會收斂。證明於下。令 若 ,則 使用矩陣範數的不等性質 (見“矩陣範數”), 上式將問題帶回純量的情況。當 和 同趨於無窮大,不等式右邊趨於零。

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