Tag Archives: 冪等矩陣

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階複矩陣，。若存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣，其主對角元為 的特徵值，則 稱為可對角化 (diagonalizable)， 稱為譜分解 (spectral decomposition，見“可對角化矩陣的譜分解”)。令 為 的相異特徵值組成的集合。下面列舉三個可對角化矩陣 的等價條件： 每一特徵值 的代數重數等於幾何重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)，即 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”)，這裡 表示矩陣 的零空間 (nullspace)； 每一特徵值 的指標 (index) 等於 ，也就是說 的 Jordan 矩陣的每一個 Jordan 分塊的階數為 ，即純量 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)； 最小多項式為 ，也就是說 (見“最小多項式 (下)”)。

本文的閱讀等級：中級 我們曾經在“可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)”證明譜定理 (spectrum theorem) 的反向命題：若 階矩陣 可表示為 ， 其中 為相異數， 是非零矩陣並滿足 ，，以及 ，則 可對角化 (若未註明階數，以下 表示 階單位矩陣 )。本文介紹一個採用建構式的證明，我們的思路是從給定條件先推論 是冪等 (idempotent) 矩陣，從而導出 的對角化形式 ，其中 ，每一 ，表明 是 的特徵值， 是特徵向量矩陣。這個證明所使用的線性代數定理與分析方法包括分塊矩陣的保秩變換、秩─零度定理、可對角化矩陣的成立條件、秩分解 (rank decomposition)，以及透過相似變換用跡數來計算秩。為便於閱讀，我將證明分成幾個步驟。(本文的證明由網友Meiyue Shao提供，原始文本請見“Spectral_decomposition”。)

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階可對角化矩陣， 為相異特徵值，也稱作矩陣譜 (spectrum)。若 是可對角化矩陣，譜定理 (spectrum theorem) 宣稱下列譜分解式唯一存在： ， 其中 稱為對應特徵值 的譜投影算子 (矩陣)，表達式為 (見“可對角化矩陣的譜分解”) ， 並具有以下性質： 是沿著 的行空間 (column space) 至零空間 (nullspace) 的投影矩陣，即冪等矩陣 (idempotent matrix)，滿足 (見“特殊矩陣 (5)：冪等矩陣”)； 若 ，； 。 本文證明譜定理的反向命題：若 ，其中 為相異數， 為非零矩陣並滿足 ，，及 ，則 是可對角化矩陣。為方便閱讀，我將證明過程切割成數個與譜投影矩陣 相關的性質。