Tag Archives: 冪等矩陣

每週問題 November 14, 2016

證明一個常見於多變量統計學的矩陣 是半正定。 Let and let be a complex matrix of rank . Show that the Hermitian matrix is positive semidefinite. Advertisements

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每週問題 October 31, 2016

證明兩冪等矩陣 (idempotent matrix) 之差為冪等矩陣的一個充要條件。 Let and be idempotent matrices, i.e., and . Show that is idempotent if and only if .

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每週問題 August 1, 2016

利用冪等矩陣 (idempotent matrix) 計算分塊上三角矩陣的冪。 For the matrix , determine .

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每週問題 January 25, 2016

證明兩個冪等 (idempotent) 矩陣有相同秩的一個充分條件。 If is an matrix, a vector is said to be a fixed point of if . Let and be idempotent matrices, i.e., and . If the zero vector is the only fixed point of , show that … Continue reading

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每週問題 January 18, 2016

證明兩個冪等 (idempotent) 矩陣相似的一個充要條件是它們有相同的秩。 Let and be idempotent matrices, i.e., and . Show that is similar to if and only if .

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可對角化的特殊矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階複矩陣,。若存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,其主對角元為 的特徵值,則 稱為可對角化 (diagonalizable), 稱為譜分解 (spectral decomposition,見“可對角化矩陣的譜分解”)。令 為 的相異特徵值組成的集合。下面列舉三個可對角化矩陣 的等價條件: 每一特徵值 的代數重數等於幾何重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”),即 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”),這裡 表示矩陣 的零空間 (nullspace); 每一特徵值 的指標 (index) 等於 ,也就是說 的 Jordan 矩陣的每一個 Jordan 分塊的階數為 ,即純量 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”); 最小多項式為 ,也就是說 (見“最小多項式 (下)”)。

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每週問題 August 24, 2015

給定 ,證明冪等 (idempotent) 矩陣 的等價性質。 Let be matrices such that . Prove that the following statements are equivalent. (a) for ; (b) are idempotent matrices, i.e., ; (c) .

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可對角化矩陣的譜分解──續篇(下)

本文的閱讀等級:中級 我們曾經在“可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)”證明譜定理 (spectrum theorem) 的反向命題:若 階矩陣 可表示為 , 其中 為相異數, 是非零矩陣並滿足 ,,以及 ,則 可對角化 (若未註明階數,以下 表示 階單位矩陣 )。本文介紹一個採用建構式的證明,我們的思路是從給定條件先推論 是冪等 (idempotent) 矩陣,從而導出 的對角化形式 ,其中 ,每一 ,表明 是 的特徵值, 是特徵向量矩陣。這個證明所使用的線性代數定理與分析方法包括分塊矩陣的保秩變換、秩─零度定理、可對角化矩陣的成立條件、秩分解 (rank decomposition),以及透過相似變換用跡數來計算秩。為便於閱讀,我將證明分成幾個步驟。(本文的證明由網友Meiyue Shao提供,原始文本請見“Spectral_decomposition”。)

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每週問題 May 18, 2015

證明冪等 (idempotent) 矩陣的一些性質。 Let be an idempotent matrix, i.e., . Let and denote the column space and nullspace of , respectively. Prove the following statements. (a) is an idempotent matrix. (b) . (c) . (d) . (e) .

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可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階可對角化矩陣, 為相異特徵值,也稱作矩陣譜 (spectrum)。若 是可對角化矩陣,譜定理 (spectrum theorem) 宣稱下列譜分解式唯一存在: , 其中 稱為對應特徵值 的譜投影算子 (矩陣),表達式為 (見“可對角化矩陣的譜分解”) , 並具有以下性質: 是沿著 的行空間 (column space) 至零空間 (nullspace) 的投影矩陣,即冪等矩陣 (idempotent matrix),滿足 (見“特殊矩陣 (5):冪等矩陣”); 若 ,; 。 本文證明譜定理的反向命題:若 ,其中 為相異數, 為非零矩陣並滿足 ,,及 ,則 是可對角化矩陣。為方便閱讀,我將證明過程切割成數個與譜投影矩陣 相關的性質。

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