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遞迴關係式的母函數解法

本文的閱讀等級:初級 美國數學教授維爾夫 (Herbert Wilf) 說[1]:「母函數 (生成函數,generating function) 是一列用來展示一串數字的掛衣架。」母函數是一數列 的一種形式冪級數 (formal power series),其中每一項的係數可以提供關於這個數列的訊息。母函數有多種不同的形式,數列 的普通母函數為 母函數 本身並不是一個從某個定義域映射至某個值域的函數,變數 沒有甚麼特別的意義,取名「函數」僅是出於歷史原因。母函數是一個代數物件而非分析物件,我們只對它的表達形式感興趣,並不關心它是否收斂。母函數經常源自遞迴關係式 (即差分方程)。本文將介紹如何利用母函數方法解出遞迴關係式的代數式。由於我們完全忽略收斂性,母函數方法是否能經得起推敲不免令人生疑。不過母函數至少能夠導出遞迴關係式的猜想,而猜想又可以用數學歸納法來證明。 Advertisements

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