Tag Archives: 冪零矩陣

每週問題 April 17, 2017

這是網友范智忠提供的問題。 Let and be matrices. If , show that . Advertisements

Posted in pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 April 4, 2016

若 ,則 的最大秩是多少? Let be an matrix and . What is the maximum value of ?

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 March 28, 2016

判定兩個冪零矩陣相似的充要條件。 Let and be nonzero matrices. (a) If , is it true that and are similar if and only if ? (b) If , is it true that and are similar if and only if ?

Posted in pow 典型形式, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

證明細解 1

本文的閱讀等級:初級 表面上,數學證明是演繹法的舞台,但本質上,數學證明是一門具有歸納性質的實驗科學活動。面對數學證明問題,我們不僅希望了解各種可能的證明方法,還試圖理解這些證法背後的動機與思維。美國數學家波利亞 (George Polya) 在其名著《怎樣解題》(How to Solve It) 主張數學解題 (包括證明) 過程可分為下列四個階段。 了解問題:要知道未知數是什麼?已知數是什麼?條件是什麼? 擬定計畫:找出已知數與未知數之間的關係。如果這個關係不是很明確,可以嘗試考慮類似的問題。最後,我們應該能想出解題的計畫。 執行計畫:將解題計畫付諸實現,仔細檢查每一個步驟。 驗算與回顧:驗算所得的解答,檢驗每一個論證步驟是否正確。 我們按照波利亞的指點練習如何通過有效的提問激發想法,從而構思出證明計畫,跨越障礙直達問題的核心。從實踐面來看,最為困難的證明階段在於擬定計畫。我想到的一個應對方法是細解一些線性代數定理的精彩證明,以探索法 (heuristic) 對論證推理的每一個步驟作徹底的研究。   定理. 令 與 為 階矩陣。若 ,則 。

Posted in 線性代數專欄, 證明細解 | Tagged , , , | Leave a comment

可對角化的特殊矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階複矩陣,。若存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,其主對角元為 的特徵值,則 稱為可對角化 (diagonalizable), 稱為譜分解 (spectral decomposition,見“可對角化矩陣的譜分解”)。令 為 的相異特徵值組成的集合。下面列舉三個可對角化矩陣 的等價條件: 每一特徵值 的代數重數等於幾何重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”),即 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”),這裡 表示矩陣 的零空間 (nullspace); 每一特徵值 的指標 (index) 等於 ,也就是說 的 Jordan 矩陣的每一個 Jordan 分塊的階數為 ,即純量 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”); 最小多項式為 ,也就是說 (見“最小多項式 (下)”)。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | Leave a comment

冪矩陣的特徵值與特徵向量

本文的閱讀等級:中級 令 為 階矩陣, 為特徵值 (包含相重特徵值), 為對應的特徵向量。如果已知 的所有特徵值和對應的特徵向量,我們能否找出冪矩陣 ,,的所有特徵值和對應的特徵向量?使用 ,計算可得 故知 有特徵值 ,對應的特徵向量是 。這個結果是否表示我們已經找齊了 的特徵值與對應的特徵向量?看下面的例子: 的特徵值為 和 ,對應的特徵向量分別為 和 。然而, 的特徵值為 和 ,對應的特徵向量分別為 , 和 。冪矩陣 的特徵值確實是 ,但對應的特徵向量除了包含 的特徵向量外,還多一個線性獨立的特徵向量 。換一個說法, 不可對角化 (因為不存在 個線性獨立的特徵向量), 卻可對角化。為甚麼會有這樣奇怪的現象?下面我們就來探討冪矩陣的最大線性獨立的特徵向量數增多的原因。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , | Leave a comment

每週問題 May 4, 2015

證明 階冪零 (nilpotent) 矩陣 滿足 。 A square matrix is said to be nilpotent if for some . Show that if is an nilpotent matrix, then .

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged | Leave a comment

每週問題 March 16, 2015

這是應用 Jordan 形式的證明問題,當然也有其他證法。 Prove that that is no matrix such that .

Posted in pow 典型形式, 每週問題 | Tagged , , | 4 Comments

每週問題 March 9, 2015

試寫出所有可能的四階冪零矩陣 (nilpotent) 的 Jordan 形式。 Determine all possible Jordan forms for a nilpotent matrix.

Posted in pow 典型形式, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

矩陣與特徵值的指標

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,一 階複矩陣 可以視為線性算子 (linear operator),。線性算子 的值域是矩陣 的行空間,記作 ;線性算子 的核是矩陣 的零空間,記作 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。若 是一可逆矩陣,則 且 ,其中 。若 是不可逆矩陣,則 未能充滿整個 而且 包含非零向量,[1] 且 。秩─零度定理聲明矩陣的秩 (rank) 與零度 (nullity) 之和等於線性算子的定義域的維數 (見“運用輸入輸出模型活化秩─零度定理”): , 其中 ,。另一方面,容斥定理闡明兩個子空間與子空間和以及子空間交集的維數關係 (見“補子空間與直和”)。容斥定理套用至行空間 與零空間 ,如下: 。 因此,,可以推論 同義於 。這個時候,在向量空間 , 是 的一個補子空間,反之亦然,記作 … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , , , , , , , | 9 Comments