Tag Archives: 冪零矩陣

每週問題 April 17, 2017

Posted on 04/17/2017 by ccjou

這是網友范智忠提供的問題。 Let and be matrices. If , show that .

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每週問題 April 4, 2016

Posted on 03/31/2016 by ccjou

若 ，則 的最大秩是多少？ Let be an matrix and . What is the maximum value of ?

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每週問題 March 28, 2016

Posted on 03/28/2016 by ccjou

判定兩個冪零矩陣相似的充要條件。 Let and be nonzero matrices. (a) If , is it true that and are similar if and only if ? (b) If , is it true that and are similar if and only if ?

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證明細解 1

Posted on 03/18/2016 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 表面上，數學證明是演繹法的舞台，但本質上，數學證明是一門具有歸納性質的實驗科學活動。面對數學證明問題，我們不僅希望了解各種可能的證明方法，還試圖理解這些證法背後的動機與思維。美國數學家波利亞 (George Polya) 在其名著《怎樣解題》(How to Solve It) 主張數學解題 (包括證明) 過程可分為下列四個階段。 了解問題：要知道未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？ 擬定計畫：找出已知數與未知數之間的關係。如果這個關係不是很明確，可以嘗試考慮類似的問題。最後，我們應該能想出解題的計畫。 執行計畫：將解題計畫付諸實現，仔細檢查每一個步驟。 驗算與回顧：驗算所得的解答，檢驗每一個論證步驟是否正確。 按照波利亞的指點，本文練習如何通過有效的提問激發想法，從而構思出證明計畫，跨越障礙直達問題的核心。從實踐面來看，最為困難的證明階段在於擬定計畫。我想到一個應對方法是細解一些線性代數定理的精彩證明，以探索法 (heuristic) 對論證推理的每一個步驟作徹底的研究。我假定讀者已經對線性代數有了初步理解，看底下這道證明問題：   定理. 令 與 為 階矩陣。若 ，則 。

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可對角化的特殊矩陣

Posted on 01/06/2016 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階複矩陣，。若存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣，其主對角元為 的特徵值，則 稱為可對角化 (diagonalizable)， 稱為譜分解 (spectral decomposition，見“可對角化矩陣的譜分解”)。令 為 的相異特徵值組成的集合。下面列舉三個可對角化矩陣 的等價條件： 每一特徵值 的代數重數等於幾何重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)，即 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”)，這裡 表示矩陣 的零空間 (nullspace)； 每一特徵值 的指標 (index) 等於 ，也就是說 的 Jordan 矩陣的每一個 Jordan 分塊的階數為 ，即純量 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)； 最小多項式為 ，也就是說 (見“最小多項式 (下)”)。

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冪矩陣的特徵值與特徵向量

Posted on 06/11/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為 階矩陣， 為特徵值 (包含相重特徵值)， 為對應的特徵向量。如果已知 的所有特徵值和對應的特徵向量，我們能否找出冪矩陣 ，，的所有特徵值和對應的特徵向量？使用 ，計算可得 故知 有特徵值 ，對應的特徵向量是 。這個結果是否表示我們已經找齊了 的特徵值與對應的特徵向量？看下面的例子： 的特徵值為 和 ，對應的特徵向量分別為 和 。然而， 的特徵值為 和 ，對應的特徵向量分別為 ， 和 。冪矩陣 的特徵值確實是 ，但對應的特徵向量除了包含 的特徵向量外，還多一個線性獨立的特徵向量 。換一個說法， 不可對角化 (因為不存在 個線性獨立的特徵向量)， 卻可對角化。為甚麼會有這樣奇怪的現象？下面我們就來探討冪矩陣的最大線性獨立的特徵向量數增多的原因。

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每週問題 May 4, 2015

Posted on 05/04/2015 by ccjou

證明 階冪零 (nilpotent) 矩陣 滿足 。 A square matrix is said to be nilpotent if for some . Show that if is an nilpotent matrix, then .

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每週問題 March 16, 2015

Posted on 03/16/2015 by ccjou

這是應用 Jordan 形式的證明問題，當然也有其他證法。 Prove that that is no matrix such that .

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每週問題 March 9, 2015

Posted on 03/09/2015 by ccjou

試寫出所有可能的四階冪零矩陣 (nilpotent) 的 Jordan 形式。 Determine all possible Jordan forms for a nilpotent matrix.

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矩陣與特徵值的指標

Posted on 02/06/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 在線性代數中，一 階複矩陣 可以視為線性算子 (linear operator)，。線性算子 的值域是矩陣 的行空間，記作 ；線性算子 的核是矩陣 的零空間，記作 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。若 是一可逆矩陣，則 且 ，其中 。若 是不可逆矩陣，則 未能充滿整個 而且 包含非零向量，[1] 且 。秩─零度定理聲明矩陣的秩 (rank) 與零度 (nullity) 之和等於線性算子的定義域的維數 (見“運用輸入輸出模型活化秩─零度定理”)： ， 其中 ，。另一方面，容斥定理闡明兩個子空間與子空間和以及子空間交集的維數關係 (見“補子空間與直和”)。容斥定理套用至行空間 與零空間 ，如下： 。 因此，，可以推論 同義於 。這個時候，在向量空間 ， 是 的一個補子空間，反之亦然，記作 … Continue reading →

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