Tag Archives: 冪零矩陣

每週問題 December 23, 2013

這是關於冪零矩陣的問題。 Let and be matrices. Does imply ? Advertisements

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Jordan 分塊

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,所謂「相似家族」是指其中成員矩陣彼此具有相似關係。具體地說,若 和 同屬一個「相似家族」,即 相似於 ,則存在一可逆矩陣 使得 。相似是一種等價關係,相似變換下的不變性質包括:特徵多項式、最小多項式、特徵值、行列式、跡數、矩陣秩,以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。Jordan 形式因創造人法國數學家約當 (Camille Jordan) 而得名。Jordan 分塊為一上三角矩陣,其中主對角元是相同常數,設為 ,主對角上標元 (superdiagonal) 都等於 ,其上的所有元為零,如下所示: 。 Jordan 矩陣是由 Jordan 分塊構成的分塊對角矩陣,或者說 Jordan 矩陣是 Jordan 分塊的直和 (direct sum),如下例: 。 Jordan 形式定理表明任一 階矩陣 必可表示為 Jordan 典型形式 (或稱 Jordan … Continue reading

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三角矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階上三角矩陣,即 若 。假設 是可逆的, 表明可逆上三角矩陣的主對角不含零元。上三角矩陣的逆矩陣也是上三角矩陣,本文介紹三種證明方法:(1) 高斯─約當法,(2) 冪零 (nilpotent) 矩陣,(3) 不變子空間 (invariant subspace)。因為 是下三角矩陣,利用 可推論下三角矩陣 的逆矩陣 也是下三角矩陣。

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特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (上)

本文的閱讀等級:中級 二項式定理 (binomial theorem) 由牛頓於公元1664-65年間提出,此定理給出 的整數次冪展開公式: , 其中 為 取 的組合數目,稱為二項式係數,它遵守帕斯卡(Pascal)法則: 。 證明如下。令 表示 個元素構成的集合,設 ,由 中選取 個元素可分開兩種情況討論:若不取 ,則必須從 選取 個元素,組合數為 ;若選取 ,則還要從 取其餘 個元素,組合數為 。帕斯卡法則的代數證明請見“二項式係數公式”。

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每週問題 September 12, 2011

這是關於冪零 (nilpotent) 矩陣的證明問題。 Pow-Sept-12-11 更新參考解答 PowSol-Sept-12-11

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每週問題 August 1, 2011

這是冪零矩陣行列式的證明問題。 Pow-August-1-11 參考解答 PowSol-August-1-11

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每週問題 April 18, 2011

這是冪零矩陣與跡數性質的等價關係證明問題。 Pow-April-18-11 參考解答 PowSol-April-18-11

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每週問題 December 20, 2010

本週問題是證明秩-1(rank-one)矩陣可區分為兩類:可對角化矩陣和冪零矩陣。 Pow-Dec-20-10 參考解答 PowSol-Dec-20-10

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Jordan 形式大解讀 (上)

本文的閱讀等級:高級 給定兩個同階方陣 和 ,如何判斷 是否相似於 ?理論上,我們可以根據相似矩陣的定義來判定:若存在一個可逆矩陣 使得 ,則 相似於 。對於 階矩陣 和 ,相似關係 給出一個包含 個未知數 ( 的所有元) 的線性方程,很明顯,直接解 矩陣絕不是一個理想的方法。相似矩陣擁有許多不變性質,例如,特徵多項式、特徵值、行列式、跡數,與矩陣秩 (詳見“相似變換下的不變性質”),然而這些性質都不足以構成相似關係的充要條件。在“如何檢查兩矩陣是否相似”一文,我們曾經以特徵值和可對角化兩性質嘗試回答此問題,但並未獲得完整的結論。判斷兩個方陣是否相似的終極方法是檢查它們的 Jordan 形式 (Jordan form):若 和 有相同的 Jordan 形式,則 相似於 ,相反方向的論述也成立 (參閱“Jordan 典型形式淺說(上)”)。

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每週問題 November 1, 2010

這是前一陣子同學課後的提問,一個關於如何證明可逆矩陣的問題。 Pow-Nov-1-10 參考解答 PowSol-Nov-1-10

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