Tag Archives: 函數空間

每週問題 November 24, 2014

本週問題是尋找函數子空間 的基底。 Let be an vector space of polynomials of degree at most . Find a basis for the subspace of all polynomials in such that . Advertisements

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傅立葉級數 (下)

本文的閱讀等級:中級 上文“傅立葉級數 (上)”介紹了 -週期實函數 的傅立葉級數 為餘弦和正弦函數組成的無窮級數: , 其中傅立葉係數 和 的計算公式如下: 若 是一奇函數,則 ,故 ,。另一方面,若 是一偶函數,則 ,故 ,。   -週期函數的傅立葉級數 考慮一週期等於 ,定義於區間 的週期函數 。利用變數變換 可使區間 變換至 ,將 代入 ,即得到 的傅立葉級數: , 將 代入 的傅立葉係數的積分公式,可得 對於 -週期函數 ,任何區間 皆可使用,如何選擇 值取決於便利性和個人偏好,常見的設定有 或 。

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傅立葉級數 (上)

本文的閱讀等級:中級 考慮一有限維內積空間 ,且 。任意 的內積記為 。令 為 的一組基底。向量空間 中任一向量 可唯一表示成 的線性組合: 。 收集所有係數 即構成向量 參考基底 的座標向量 ,兩者之間具有一對一的映射關係: , 我們稱 所屬的向量空間 與 所屬的幾何向量空間 是同構的 (isomorphic,見“同構的向量空間”)。欲得到 的座標向量 必須解開一 階線性方程組,這不是我們樂見的事。但如果 是一組單範正交基底 (orthonormal basis),也就是說 若 , 若 ,則完全不需要經過解方程式過程即可求得 。利用內積的半雙線性性質 (見“內積的定義”),可得 故 有下列正交分解展開式: , 其中 … Continue reading

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Legendre 多項式

本文的閱讀等級:中級 廣義化或稱一般化,是指將概念的定義予以修改或擴充使其適用於更大的範圍。廣義化是擴展數學理論與應用最常使用的方法之一,線性代數也有許多廣義化的斧鑿痕跡,函數空間(function space)即是一個明顯的例子。函數空間既是向量空間也是內積空間,因此內積空間的性質與運算同樣適用於函數空間(見“從幾何向量空間到函數空間”)。本文運用 Gram-Schmidt 正交化程序推導實多項式空間的一組正交基底──Legendre 多項式,給出一遞迴生成公式,並討論 Legendre 多項式在函數近似的應用。

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從幾何向量空間到函數空間

本文的閱讀等級:中級 基礎線性代數課程常將討論的向量空間侷限於有限維幾何向量空間 ,主要的原因有兩個:第一是不需要透過座標映射便可將矩陣結構與向量空間結合在一起;第二是幾何向量空間,譬如 與 是高中座標幾何的延伸,由此較容易建立起向量空間的觀念。本文採用問答方式,一步步系統化地介紹如何將幾何向量空間延伸推廣至函數空間。

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