Tag Archives: 分塊矩陣

不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (上)

本文的閱讀等級:中級 一百年前,行列式曾經是一個重要的數學領域。隨著數學發展方向的改變,今天行列式已漸漸遠離線性代數和矩陣理論的中心。但為甚麼絕大多數的近代線性代數教科書仍將行列式納入課程內容?美國數學教授奈林 (Evar D. Nering) 一語道破箇中緣由[1]: 我們介紹行列式理論的一些主題之目的僅為了求一線性變換的特徵值。若不是因為這個用途,我們不會在本書裡討論行列式。 令 是一個 階線性變換表示矩陣。定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即是 的根,對應的特徵向量 滿足 。以上是多數教本採用的論述方式。奈林不是唯一對行列式冷感的學者,美國數學教授阿斯勒 (Sheldon Axler) 認為行列式難以理解,不具清晰直覺,且常在缺乏動機的情況下被定義出來。為擺脫行列式,他甚至寫了一本書《線性代數正確完成》(Linear Algebra Done Right) 試圖說服大眾:即便沒有行列式,線性代數照樣伸展自如 (見“拒絕行列式的特徵分析”)。不過,缺少行列式這個工具,阿斯勒並沒有告訴讀者如何計算特徵多項式 (或特徵值)。關於這個問題,他建議大家使用現成的數值計算工具,並說[2]: 不幸的是,對於一典型算子的表示矩陣 (參考任意基底),不存在精確的特徵值計算方法。然而,如果我們幸運地找到一組基底使得參考它的表示矩陣是上三角矩陣,那麼計算特徵值這個問題就很簡單了。 如果我們幸運地找到一組基底使得線性變換參考這組基底的表示矩陣是上三角矩陣,那麼線性變換 (或表示矩陣) 的特徵值即為上三角矩陣的主對角元。或許要找到一組能夠將矩陣三角化的基底需要一點運氣,但現今確實存在可使矩陣分塊三角化的基底計算方法[3-4]。由於此法產生的分塊上三角矩陣具備特殊的型態,從主對角分塊立刻得知特徵多項式,不僅如此,一旦確定了特徵值,僅需少量的計算即可求出特徵向量。下面我就為讀者介紹這個鮮為世人所知的不使用行列式 (也不倚靠運氣或個人修為) 的特徵值和特徵向量算法。

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每週問題 June 4, 2012

本週問題是運用分塊矩陣技巧計算一4階方陣的特徵值。 Pow-June-4-12 參考解答 PowSol-June-4-12

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每週問題 August 22, 2011

這是分塊矩陣秩的證明問題。 Pow-August-22-11 參考解答 PowSol-August-22-11

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利用分塊矩陣證明 Hadamard 不等式

本文的閱讀等級:高級 分塊矩陣是矩陣理論的一項基本操作技巧。本文介紹如何利用分塊矩陣來證明 Hadamard 不等式 (見“Hadamard不等式”),內容包含三部分:先探討正定分塊矩陣的充分必要條件,再說明正定分塊矩陣的行列式與主對角分塊的行列式關係,最後運用此關係證明 Hadamard 不等式。

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矩陣函數 (下)

本文的閱讀等級:高級 上文“矩陣函數 (上)”介紹了可對角化矩陣函數,簡述如下:設 為 階可對角化矩陣,,其中 為主對角特徵值矩陣 , 為特徵向量矩陣。若對於所有特徵值 ,函數 存在,我們定義矩陣函數 如下: 本文接續討論不可對角化矩陣函數。

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Kronecker 積

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階矩陣, 為一 階矩陣。Kronecker 積 (也稱為張量積,tensor product) 為 階矩陣,定義如下: 例如,

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Jordan 形式大解讀之尋找廣義特徵向量

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階矩陣。我們曾經在“Jordan 形式大解讀(下)”發展了一個 Jordan 形式演算法,得到 Jordan 矩陣 與可逆矩陣 並使 ,簡述於下: 求出 的所有相異特徵值 ,,特徵值 的代數重數 ,以及幾何重數 。 針對每一相異特徵值 ,找出 階超級 Jordan 分塊 ,它包含 個基本 Jordan 分塊,所有的 的直和即為 Jordan 矩陣 。 對於 的每個相異特徵值 ,根據步驟 (2) 得到的超級 Jordan 分塊 ,解出對應各基本 Jordan … Continue reading

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運用等價問題來解題

本文的閱讀等級:高級 解題的最初過程多半會經過以下步驟:收集資訊,探索並深入了解,藉由猜測和分析找出關聯或模式。不過如果計算過於複雜或者問題本身沒有透露一些可供啟發的訊息,那該怎麼辦呢?本文介紹一個有效的解題方法──將問題改寫為另一個形式較簡單的等價問題。然而,改寫問題並不存在一套標準作法,通常需要仰賴個人的想像力與洞察力;縱使如此,透過適當練習仍可增進改寫問題的能力。一個問題常存在多種解法,並且各自有不同的探索途徑,所以我們要避免注意力過份狹窄。反過來說,天下沒有「一招半式闖江湖」這回事,死抱不放過去熟知的算法與技巧是也有害的,故應盡量保持彈性,見機行事見招拆招。下面我以一個計算問題為例說明運用等價問題來解題的實現過程。

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利用循環子空間證明 Cayley-Hamilton 定理

本文的閱讀等級:中級 在“利用循環子空間計算特徵多項式”一文,我們介紹了循環子空間的基本知識,並運用它來化簡線性算子特徵多項式的計算程序。本文將探討如何利用循環子空間證明 Cayley-Hamilton 定理:設 為定義於有限維向量空間 的線性算子, 為其特徵多項式,則 ,其中 代表零變換。

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不變子空間──解構線性算子的利器

本文的閱讀等級:中級 設 是一個從向量空間 映至向量空間 的線性變換。若 ,我們稱 為定義於向量空間 的線性算子 (linear operator)。數學家發展出一個研究線性算子的方法,他們想像向量空間 可以分割成一組不交集的子空間 ,精確地說, 為這些不交集子空間的直和 (direct sum,見“補子空間與直和”): 。 對於任一 ,僅有唯一的 ,,能夠組合出 。為簡約符號,我們以 代表向量 經過 映射後得到的像 。利用線性變換的基本性質,可得 。 上式提示我們一個探索線性算子 的途徑:只要分別探討 在各個子空間 的行為即可對 的行為獲得完整的認識。實際的操作方式是令線性算子 限定於子空間 上,稱為限定算子 (restriction),記為 。限定算子成立的前提是任一 ,都有 ,即 ,滿足此性質的子空間 稱為 的不變子空間 (invariant … Continue reading

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