Tag Archives: 列空間

每週問題 April 28, 2014

這是計算簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的問題。 Let . Determine the reduced row echelon form of . Advertisements

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矩陣的四個基本子空間的正交投影矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為幾何向量空間 的一個子空間,且 是 的正交補餘 (orthogonal complement),意思是 且 。換一個說法,任一 可唯一分解成 ,其中 ,,且 。令 表示映射至子空間 的 階正交投影矩陣。下列性質成立 (見“正交投影矩陣的性質與界定”): 對於每一 ,。 對於每一 ,。 是實對稱冪等矩陣,即 。 且 。 若 () 且 是 的一組基底,將所有的基底向量組成 階矩陣 ,正交投影矩陣 可由下列公式算得 (推導見“線代膠囊──正交投影矩陣”): 。 值得注意的是 不因所選擇的基底 (即 矩陣) … Continue reading

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線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ,零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間,其中列空間 和零空間 是 的子空間,行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題: 給定一 維向量 ,求線性方程 的通解 ,其中 為一特解,滿足 , 稱為齊次解,滿足 ,即 。 求矩陣 … Continue reading

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每週問題 September 23, 2013

這是通過零空間證明一特殊分塊矩陣的可逆性。 Let be an real matrix. If , show that is nonsingular. Note that is the nullspace of and is the column space of .

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線性代數在圖論的應用 (二):關聯矩陣

本文的閱讀等級:初級 線性代數在圖論的應用建立於圖的矩陣表達。我們曾在“線性代數在圖論的應用 (一):鄰接矩陣”討論了鄰接矩陣 (adjacency matrix),本文將介紹另一個重要的矩陣表達──關聯矩陣 (incidence matrix)。令 為一個有向圖,其中 是頂點集合, 是有向邊集合。我們以 和 分別表示頂點和邊的總數,即 ,。有序對 表示邊 的起始頂點是 ,終止頂點是 ,即 。我們定義關聯矩陣 為一 階矩陣,其中 且 若 ,其餘元為零[1]。見下例: 此圖的關聯矩陣為 。

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答andy6829──關於實矩陣的列空間是零空間的正交補餘

網友andy6829留言: 周老師您好,我最近從一本書籍 (有關錯誤更正碼的線性區塊碼) 看到作者對某個向量空間的敘述,但我左想右想還是不知道作者想表達的意思是什麼,可以請問老師下列的敘述代表著什麼意思呢? 對任何一個由 個線性獨立的列向量所組成的 矩陣 ,均存在一個由 個線性獨立的列向量組成的 矩陣 (為甚麼?),使得 的列空間的任意向量與 的列向量正交,並且任何與 的列向量正交的向量都在 的列空間中 (為甚麼?): 的列空間等於 的零空間。 我看過您所發表的〈行空間與零空間的互換表達〉,感覺好像和我所要問的問題很類似,但我還是百思不得其解,可以請老師給我一些提示 (hint),好使我了解其中的意義嗎?謝謝周老師的幫忙。

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矩陣的四個基本子空間基底算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階實矩陣,或說 是一個線性變換 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。矩陣 的值域 (range) 為其行空間 (column space) , 將 以行向量 (column vector) 表示為 ,其中 , 就是行向量 的線性組合形成的一個集合,因為 。 矩陣 的核 (kernel) 為其零空間 (nullspace) 。 對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)。設 ,等號兩邊取轉置可得 … Continue reading

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答Louie──關於列等價矩陣家族的DNA

網友Louie留言: 老師你好,我有買你的教學光碟自修,謝謝你精采的講解,讓我有身歷其境的感覺。我在寫作業的時候遇到了點小問題:Problem-Set-4-2012 第五題。我只想到 等於 ,我參考了老師PO的詳解, ,這裡我有點不解。確實可以用 比較係數求出來 ,但是我們如何確定free variable在 的第三行和第四行,如果free variable在 的第一行和第三行或者 的第一行和第四行,這樣求出來的 不就不同了?麻煩老師幫我指點迷津一下。

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每週問題 July 9, 2012

本週問題是從給定的特徵方程計算一線性方程的通解以及屬於列空間的特解。 Pow-July-9-12 參考解答 PowSol-July-9-12

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線性泛函與對偶空間

本文的閱讀等級:中級 考慮包含 個變數的 個線性聯立方程: 將列指標去除,針對單一方程式 , 等號左邊算式有兩種解釋方式。我們可以單純地將 看成是向量點積 (dot product,或稱內積),也就是 階矩陣和 階矩陣乘法: 。 如果所有的係數 與未知數 皆為實數,由此可推演出 的列空間 (row space) 為零空間 (nullspace) 的正交補餘 (見“線性代數基本定理(二)”)。另一種解釋方式是將等號左側視為 維向量 的函數,表示如下: 。 很容易確認 是一個從 映至 的線性變換,記為 。為了與一般線性變換有所區隔,數學家稱這種特殊的線性變換為線性泛函 (linear functional),簡而言之,線性泛函即是將向量映射至純量的線性函數。

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