Tag Archives: 列等價

等價標準型

本文的閱讀等級:初級 令 和 為 階矩陣。若存在一個 階可逆矩陣 使得 ,我們說 列等價 (row equivalent) 於 (見“矩陣的等價關係”),此名稱的由來係因 是對於 執行的基本列運算的複合 (即基本矩陣的乘積,見“左乘還是右乘,這就是問題所在”)。若存在一個 階可逆矩陣 使得 ,我們說 行等價 (column equivalent) 於 ,因為 是對於 執行的基本行運算的複合。若存在可逆矩陣 和 使得 ,則稱 等價於 。下述定理可用來判定 與 的等價關係。 等價標準型定理:對於任一 階矩陣 ,存在 階可逆矩陣 和 階可逆矩陣 使得 … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , | Leave a comment

高斯消去法

本文的閱讀等級:初級 解線性方程組是線性代數處理的核心問題之一。考慮包含 個未知數 的線性方程式 , 其中係數 與 是給定的純量 (實數或複數)。若線性方程組有 個方程式,則可表示為陣列形式: 線性方程組的解 必須滿足上面 個方程式,也就是說方程組的解是 個方程式各自解的交集。線性方程組的系統化解法最早出現於公元前100年的中國古籍《九章算術》(見“《九章算術》的方程術”),隨後傳入日本和歐洲。今天,我們稱此算法為高斯消去法或高斯消元法 (Gaussian elimination) 以紀念德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的廣泛使用故而推廣了這個方法。

Posted in 線性方程, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , , , | 7 Comments

答Louie──關於列等價矩陣家族的DNA

網友Louie留言: 老師你好,我有買你的教學光碟自修,謝謝你精采的講解,讓我有身歷其境的感覺。我在寫作業的時候遇到了點小問題:Problem-Set-4-2012 第五題。我只想到 等於 ,我參考了老師PO的詳解, ,這裡我有點不解。確實可以用 比較係數求出來 ,但是我們如何確定free variable在 的第三行和第四行,如果free variable在 的第一行和第三行或者 的第一行和第四行,這樣求出來的 不就不同了?麻煩老師幫我指點迷津一下。

Posted in 答讀者問, 向量空間 | Tagged , , , , , , | 12 Comments

矩陣的等價關係

本文的閱讀等級:中級 等價關係 (equivalence relation) 是兩個數學物件之間的一種特殊關係。將待檢查的同類型數學物件合成為一集合 ,並定義 中任意兩元素 和 之間的關係,令 代表此種二元關係。嚴格來說,我們可以將關係 視為從 映至 的一個函數。對於任意元素對 ,若 ,則 和 具有指定關係,若 ,則兩者不存在此關係。下面我們用更精簡符號 來表示 。我們說 是一種等價關係,若它滿足下列三個條件: 反身性 (reflexive):對於任一 ,; 對稱性 (symmetric):若 ,則 ; 傳遞性 (transitive):若 且 ,則 。 根據等價關係 ,集合 可切割成互不相交的等價分類,每個等價分類中的元素彼此具有關係 ,但屬於不同等價分類的元素則不存在關係 。特別要強調:每一種等價關係 都存在對應的變換方式,也就是說,若 ,則有一個運算程序可將 … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 二次型 | Tagged , , , , | Leave a comment

簡約列梯形式的唯一性

本文的閱讀等級:中級 高斯─約當法 (Gauss-Jordan method) 是線性代數中最常使用的演算法之一 (見“高斯─約當法”),它的功用是將給定矩陣 化為同階的簡約列梯形式 (reduced row echelon form),記為 。透過簡約列梯形式,不但可以解出線性方程組還能回答許多有關矩陣的基本問題,如矩陣秩、列空間基底、行空間基底以及零空間基底 (見“矩陣的四個基本子空間基底算法”)。從高斯—約當法的演算過程,我們憑直覺推斷 的簡約列梯形式是唯一的 (否則不會將之命名為 ),於是理所當然地將它視為事實。本文介紹一個運用排列矩陣與分塊矩陣的代數證明方法,透徹瞭解這整個論證過程對提昇邏輯推理能力有很大的幫助。

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , , , , , , , | 2 Comments