Tag Archives: 半正定矩陣

每週問題 January 16, 2017

這是兩個實對稱矩陣以相合變換同時可對角化問題。 Let and be real symmetric matrices, and , . If there exists a such that is a positive semidefinite matrix and , then there exists a nonsingular matrix such that both and are diagonal. Note that denotes the nullspace … Continue reading

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | 10 Comments

每週問題 November 28, 2016

證明半正定矩陣的倒數矩陣為半正定的一個充要條件。 Let be an Hermitian and positive semidefinite matrix and with the property . Show that is positive semidefinite if and only if .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 November 21, 2016

證明兩個半正定矩陣之和的行列式大於或等於兩矩陣的行列式之和。 Let and be Hermitian and positive semidefinite matrices. Show that .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , , | 2 Comments

每週問題 November 14, 2016

證明一個常見於多變量統計學的矩陣 是半正定。 Let and let be a complex matrix of rank . Show that the Hermitian matrix is positive semidefinite.

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , , , | Leave a comment

每週問題 October 10, 2016

若半正定矩陣的一個主對角元等於零,則該列與行的所有元必為零。 Let be an Hermitian matrix. If is positive semidefinite and for some , show that for all .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged | 2 Comments

每週問題 September 19, 2016

這是關於半正定矩陣的二次型等於零的問題。 Let be a real symmetric positive semidefinite matrix. If , show that .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged | Leave a comment

每週問題 November 3, 2014

實對稱矩陣與反對稱矩陣的平方有甚麼性質? Let be an real matrix. Prove the following statements. (a) If is symmetric, then is positive semidefinite. (b) If is skew-symmetric, then is positive semidefinite.

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

共變異數矩陣的性質

本文的閱讀等級:初級 令 為一個隨機向量,其中 是隨機變數。共變異數矩陣 (covariance matrix) 定義如下: , 其中 是期望值算子,。根據定義, 為 階矩陣,具有下列形式: 共變異數矩陣 的 元是 和 的共變異數 (covariance,或稱協方差) 。因為 ,共變異數矩陣的主對角元為隨機變數 的變異數 (variance)。本文介紹共變異數矩陣的一些基本性質。

Posted in 機率統計 | Tagged , , | 6 Comments

每週問題 March 31, 2014

這是證明半正定矩陣和 Hermitian 矩陣乘積的特徵值必為實數。 Let and be Hermitian matrices. Prove that following statements. (a) If or is positive semidefinite, then all the eigenvalues of are real. (b) If and are positive semidefinite, then all the eigenvalues of are nonnegative.

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

Hermitian 矩陣乘積的性質

本文的閱讀等級:高級 在線性代數理論與應用中,Hermitian 矩陣可謂最重要的一種特殊矩陣。若一 階矩陣 滿足 ,我們稱之為 Hermitian,它具備下列美好的性質 (見“Hermitian 特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”): 的特徵值 必為實數; 有 個完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量,也就是說, 可么正對角化 (unitarily diagonalizable) 為 ,其中 是么正矩陣,,。 對於 Hermitian 矩陣 和 , 與 未必是 Hermitian (除非 和 是可交換矩陣,見定理一)。本文將探討二個 Hermitian 矩陣乘積的一些性質,包括特徵值、跡數 (trace)、可對角化和相似性 ( 是否相似於 )。

Posted in 線性代數專欄, 二次型 | Tagged , , , , , , | Leave a comment