Tag Archives: 半正定矩陣

每週問題 March 3, 2014

這是關於二個半正定矩陣積的跡數與二次型問題。 Let and be real symmetric matrices and let and be positive semidefinite. Prove the following statements. (a) If , then . (b) If for all real , then . Advertisements

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答張盛東──關於三個半正定矩陣積的二次型為零的問題

網友張盛東留言: 老師,請教一個問題。已知 為實對稱半正定 (positive semidefinite) 矩陣,證明:對任意實向量 ,如果二次型 ,則 。這題我想很久都找不到思緒,希望老師指點一下。

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每週問題 November 25, 2013

這是有關奇異值分解於最大化跡數的應用問題。 Let be an real matrix, and let be a singular value decomposition of . Note that and are real orthogonal matrices, and , where is the set of singular values of . Let be an real orthogonal matrix. Show … Continue reading

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每週問題 October 7, 2013

這是一個半正定矩陣的證明問題。 Let . If and , show that is positive semidefinite.

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每週問題 August 5, 2013

這是半正定矩陣的跡數不等式問題。 Let be Hermitian and positive semidefinite. Show the following statements. (a) . (b) .

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每週問題 July 8, 2013

在代數中,若 ,則 。那麼對應的矩陣性質該如何證明呢? Let and be Hermitian matrices. We denote if is positive semidefinite. If , i.e., is positive definite, show that .

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主成分分析

本文的閱讀等級:高級 美國作家梭羅 (Henry D. Thoreau) 在《湖濱散記》談到他的幽居生活時,說道[1]: 我們的生活消耗在瑣碎之中。一個老實的人除了十指之外,便不必有更大的數字了,頂多加上十個足趾,其餘不妨勉強一下。簡單,簡單,簡單啊!我說,最好你的事祇兩三件,不要一百件或一千件;不必一百萬一百萬地計算,半打不夠計算嗎?總之,賬目可以記在大拇指甲上就好了。 我們也許不能複製梭羅在瓦爾登湖 (Walden) 的簡單生活,但是我們永遠可以通過化繁為簡來改善現況。處於資訊爆炸的時代,我們不免要面對變數很多且樣本數很大的資料。在分析高維度 (變數很多) 數據時,降維 (dimension reduction) 常是一個必要的前處理工作。主成分分析 (principal components analysis,簡稱 PCA) 由英國統計學家皮爾生 (Karl Pearson) 於1901年提出[2],是一種降低數據維度的有效技術。主成分分析的主要構想是分析共變異數矩陣 (covariance matrix) 的特徵性質 (見“共變異數矩陣與常態分布”),以得出數據的主成分 (即特徵向量) 與它們的權值 (即特徵值);透過保留低階主成分 (對應大特徵值),捨棄高階主成分 (對應小特徵值),達到減少數據集維度,同時保留最大數據集變異的目的。本文從線性代數觀點介紹主成分分析,並討論實際應用時可能遭遇的一些問題。

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每週問題 February 25, 2013

這是關於半正定矩陣的判別法。 Let be an real symmetric matrix. Show that is positive semidefinite if and only if is positive semidefinite for all real matrix .

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半正定矩陣的判別方法

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階實對稱矩陣。若任一非零向量 使得二次型 ,我們稱 是正定 (positive definite) 矩陣 (見“特殊矩陣 (6):正定矩陣”)。若任一 皆滿足 ,則 稱為半正定 (positive semidefinite) 矩陣。本文介紹半正定矩陣的一些判別方法。如欲將本文內容推廣至 Hermitian 複矩陣,僅須將實數系 替換為複數系 ,並且將轉置 替換為共軛轉置 即可。

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答謝一誠──關於判斷正定、負定或未定二次型的問題

網友謝一誠留言: 老師您好,我想請問周老師,關於Quadratic Forms的定理。在 Elementary Linear Algebra (作者Howard Anton,Chris Rorres,第9版,2005),書中Exercise set 9.5 (page 486): 11. In each part, classify the quadratic form as positive definite, positive semidefinite, negative definite, negative semidefinite, or indefinite. (f) 方法一:用此書中定理9.5.2 (page 482) A symmetric matrix is … Continue reading

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