Tag Archives: 卡氏分解

數值域

本文的閱讀等級:高級 給定一 階矩陣 ,矩陣譜 (spectrum) 是所有特徵值所形成的集合,表示為 ;譜半徑 (spectrum radius) 是包含特徵值的最小半徑 (原點是圓中心),記為 (見“譜半徑與矩陣範數”)。類似矩陣譜的表達方式, 的數值域 (numerical range 或 field of values) 定義如下: , 或以 Rayleigh 商表示為 。 這兩個定義是等價的,證明見“Hermitian 矩陣特徵值的變化界定”。為了測量數值域的大小, 的數值半徑 (numerical radius) 定義為包含數值域的最小圓半徑: 。 矩陣譜 是一離散集合,稍後我們將證明數值域 是一連通緊凸集 (connected compact convex set)。如同矩陣譜的功用,數值域也可以幫助我們了解矩陣的本質,尤其是不具特殊形態的一般矩陣。

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共變異數矩陣與常態分布

本文的閱讀等級:中級 常態分布 (normal distribution),也稱高斯分布 (Gaussian distribution),其機率密度函數為 , 其中 是平均數 (mean), 是變異數 (variance)。對於 ,多變量常態分布的形式如下 (見“ 多變量常態分布”): , 其中 是平均數向量, 是 階共變異數矩陣 (covariance matrix), 是 的行列式。常態分布是一種應用相當廣泛的連續型機率分布,原因之一是大自然產生的變數經常具有常態分布,譬如,某城市成年男子的身高,某田地產出的蘿蔔重量;另外,對於從母體隨機抽取出的樣本,當樣本數增大時,樣本平均數的分布逼近常態分布[1] (見“ 樣本平均數、變異數和共變異數”)。圖1為 的一個常態分布樣本。本文從線性代數觀點探討常態分布與共變異數矩陣的幾何涵義。

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特殊矩陣 (13):反對稱矩陣

本文的閱讀等級:中級 若 階矩陣 滿足 ,即 ,我們稱 為反對稱矩陣 (anti-symmetric) 或斜對稱矩陣 (skew-symmetric)。因為 ,反對稱矩陣的主對角元必為零,推得 。下為反對稱矩陣一例: 。 僅由外表很難一窺反對稱矩陣蘊含的性質,下面我們探討反對稱矩陣在向量空間、行列式、特徵值以及矩陣函數的一些表現。在一般情況下,反對稱矩陣限定於實矩陣,推廣至複矩陣則將轉置替換為共軛轉置,這時稱為斜─Hermitian 矩陣。

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特殊矩陣 (2):正規矩陣

本文的閱讀等級:中級 基礎線性代數曾經介紹實對稱矩陣是正交可對角化的 (orthogonally diagonalizable),即特徵向量組成完整的單範正交集 (orthonormal set),詳見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”。還有哪些矩陣也是正交可對角化?要完整的回答此問題,必須將實數系延伸至複數系 (見“從實數系到複數系”)。令 為一個 階複矩陣。若 和 是可交換矩陣,即 , 則 稱為正規矩陣 (normal matrix)。正規矩陣最重要的等價性質是可么正對角化 (unitarily diagonalizable),非正規矩陣不可么正對角化。么正對角化是說 ,其中 是一個么正 (unitary) 矩陣,,且 是一個對角矩陣。

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