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自由振動系統的特徵值與特徵向量

本文的閱讀等級:中級 公元1940年7月1日美國華盛頓州的塔科馬海峽懸索橋 (Tacoma Narrows Bridge) 正式啟用通車。不到數星期,橋面便開始上下擺動,其後擺動幅度不斷增加,工程人員嘗試加建纜索與液壓緩衝裝置企圖減低波動,但均未見成效。啟用四個月後,同年11月7日上午,橋身扭動愈發劇烈,最後橋面於數分鐘內陸續坍塌[1](見圖一,YouTube影片紀錄坍塌實況)。   塔科馬海峽懸索橋坍塌的原因為其橋面厚度不足,在受到強風的吹襲下引起卡門渦街 (Kármán vortex street),使橋身不斷晃動。當卡門渦街的振動頻率和吊橋自身的固有頻率 (即自由振動時的頻率,亦稱自然頻率) 相同時,遂引起橋身共振終至崩塌。所謂共振是指在特定頻率下,一物理系統以最大振幅振動,此特定頻率即稱為共振頻率。當阻尼 (damping) 很小時,共振頻率大約等於系統固有頻率。(台北101大樓擁有全球最大的抗風阻尼器,見 “如何幫大樓抗風防震?淺談台北101大樓阻尼器”。) 下面是維基百科關於卡門渦街的介紹以及塔科馬海峽懸索橋坍塌的解釋[2]: 在流體中安置阻流體,在特定條件下會出現不穩定的邊界層分離,阻流體下游的兩側會產生兩道非對稱地排列的旋渦,其中一側的旋渦循時針方向轉動,另一旋渦則反方向旋轉,這兩排旋渦相互交錯排列,各個旋渦和對面兩個旋渦的中間點對齊,如街道兩邊的街燈般 (見維基百科),這種現象因匈牙利裔美國空氣動力學家馮•卡門 (Theodore von Kármán,1881-1963) 最先從理論上闡明而得名卡門渦街。 卡門渦街可能引起建築物倒塌。…塔科馬海峽吊橋倒塌後第二天,華盛頓州州長宣布該座吊橋的設計牢靠,計劃按同樣設計重建。馮•卡門覺得此事不妥,便覓來一個塔科馬海峽吊橋模型帶回家中,放在書桌上,開動電扇吹風,模型開始振動起來,當振動頻率達到模型的固有頻時,發生共振,模型振動劇烈。果然不出所料,塔科馬海峽吊橋倒塌事件的元兇,正是卡門渦街引起橋樑共振。其後馮•卡門令助手在加州理工學院風洞內,進一步測試塔科馬海峽吊橋模型,取得數據,然後發一份電報給華盛頓州州長:「如果按舊設計重建一座新橋,那座新橋會一模一樣的倒塌」。州長設立一個塔科馬海峽吊橋倒塌事件考察小組,馮•卡門系成員之一。經一番爭論,馮•卡門終於說服當時不懂空氣動力學知識的橋樑設計師,在建新橋之前,先將橋樑模型進行風洞測試。會議決定採用新的設計避免卡門渦街對橋樑引起的禍害。   本文介紹自由振動系統的特徵值與特徵向量,目的在顯現其物理涵義:在多自由度的自由振動系統中,固有頻率由系統的特徵值決定,而振型 (mode shape) 則由對應的特徵向量決定。

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