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Tag Archives: 反對稱矩陣
每週問題 May 15, 2017
反對稱矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 是對稱或反對稱矩陣。 Let be an skew-symmetric matrix. Prove that is a symmetric matrix for odd and a skew-symmetric matrix for even .
每週問題 January 30, 2017
證明反對稱矩陣的秩必為偶數。 Prove that the rank of a real skew-symmetric matrix is an even number.
每週問題 July 18, 2016
這是關於反對稱矩陣 (skew symmetric matrix) 與反 Hermitian 矩陣的問題。 Prove that each of the following statements is true. (a) If is skew symmetric, then for each . (b) If is skew Hermitian, then each is a pure imaginary number. (c) If is … Continue reading
每週問題 December 21, 2015
這是計算一線性變換的特徵值與特徵向量。 Let be an matrix, and be the linear transformation defined by . For , find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of .
每週問題 September 21, 2015
若 是正交矩陣，則 是反對稱矩陣。 Let be an orthogonal matrix, where each entry is a differentiable function of . Show that is skew-symmetric.
每週問題 November 3, 2014
實對稱矩陣與反對稱矩陣的平方有甚麼性質？ Let be an real matrix. Prove the following statements. (a) If is symmetric, then is positive semidefinite. (b) If is skew-symmetric, then is positive semidefinite.
三維空間的旋轉矩陣
本文的閱讀等級：中級 在二維平面上，逆時針方向旋轉 徑度 (弧度，radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”) 。 不難驗證 的特徵值為 和 ，其中 ，並具有下面兩個基本性質： 旋轉矩陣 的兩個行向量 (column vector) 和 組成一個單範正交集 (orthonormal set)，也就是說， 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix)，滿足 ，故逆旋轉矩陣為 。 對於任一實正交矩陣 ，，即得 。若 ，則 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 ，旋轉矩陣 是適當的正交矩陣。若 ，則 稱為不適當的正交矩陣，例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”) 。 本文討論常見於電腦圖學 (computer … Continue reading
四元數與三維空間旋轉
本文的閱讀等級：中級 愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 將複數 ，其中 是實數， 是虛數單位，延伸為四元數 (quaternion)，即一個實數加上三個虛部， ， 其中 是實數，虛數單位 滿足基本公式 。 任一複數 與單位複數 的乘積 可以解讀為點 在二維複數平面逆時針旋轉 徑度 (見“複數的矩陣表示”)。類似地，四元數亦可表示三維空間旋轉，不過這個性質不像複數蘊含平面旋轉那般明顯，因為實在難以想像處於 的四元數如何對 向量執行運算。
Cayley 變換
本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階矩陣。若 可逆，英國數學家凱萊 (Arthur Cayley) 於1846年提出下列變換，稱為 Cayley 變換[1]： ， 其中 與 是可交換矩陣 (證明見註解[2])。除非特別註明，以下考慮實矩陣。通過 Cayley 變換，反對稱矩陣 (anti-symmetric matrix) 或稱斜對稱矩陣 (skew-symmetric matrix) 與特殊的一類正交矩陣 (orthogonal matrix) 具有一對一的對應關係。
每週問題 March 3, 2014
這是關於二個半正定矩陣積的跡數與二次型問題。 Let and be real symmetric matrices and let and be positive semidefinite. Prove the following statements. (a) If , then . (b) If for all real , then .
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