Tag Archives: 反對稱矩陣

每週問題 May 15, 2017

反對稱矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 是對稱或反對稱矩陣。 Let be an skew-symmetric matrix. Prove that is a symmetric matrix for odd and a skew-symmetric matrix for even . Advertisements

Posted in pow 行列式, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 January 30, 2017

證明反對稱矩陣的秩必為偶數。 Prove that the rank of a real skew-symmetric matrix is an even number.

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged | Leave a comment

每週問題 July 18, 2016

這是關於反對稱矩陣 (skew symmetric matrix) 與反 Hermitian 矩陣的問題。 Prove that each of the following statements is true. (a) If is skew symmetric, then for each . (b) If is skew Hermitian, then each is a pure imaginary number. (c) If is … Continue reading

Posted in pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 December 21, 2015

這是計算一線性變換的特徵值與特徵向量。 Let be an matrix, and be the linear transformation defined by . For , find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of .

Posted in pow 特徵分析, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 September 21, 2015

若 是正交矩陣,則 是反對稱矩陣。 Let be an orthogonal matrix, where each entry is a differentiable function of . Show that is skew-symmetric.

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 November 3, 2014

實對稱矩陣與反對稱矩陣的平方有甚麼性質? Let be an real matrix. Prove the following statements. (a) If is symmetric, then is positive semidefinite. (b) If is skew-symmetric, then is positive semidefinite.

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

三維空間的旋轉矩陣

本文的閱讀等級:中級 在二維平面上,逆時針方向旋轉 徑度 (弧度,radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”) 。 不難驗證 的特徵值為 和 ,其中 ,並具有下面兩個基本性質: 旋轉矩陣 的兩個行向量 (column vector) 和 組成一個單範正交集 (orthonormal set),也就是說, 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 ,故逆旋轉矩陣為 。 對於任一實正交矩陣 ,,即得 。若 ,則 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 ,旋轉矩陣 是適當的正交矩陣。若 ,則 稱為不適當的正交矩陣,例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”) 。 本文討論常見於電腦圖學 (computer … Continue reading

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , , , , | 19 Comments

四元數與三維空間旋轉

本文的閱讀等級:中級 愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 將複數 ,其中 是實數, 是虛數單位,延伸為四元數 (quaternion),即一個實數加上三個虛部, , 其中 是實數,虛數單位 滿足基本公式 。 任一複數 與單位複數 的乘積 可以解讀為點 在二維複數平面逆時針旋轉 徑度 (見“複數的矩陣表示”)。類似地,四元數亦可表示三維空間旋轉,不過這個性質不像複數蘊含平面旋轉那般明顯,因為實在難以想像處於 的四元數如何對 向量執行運算。

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | 13 Comments

Cayley 變換

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若 可逆,英國數學家凱萊 (Arthur Cayley) 於1846年提出下列變換,稱為 Cayley 變換[1]: , 其中 與 是可交換矩陣 (證明見註解[2])。除非特別註明,以下考慮實矩陣。通過 Cayley 變換,反對稱矩陣 (anti-symmetric matrix) 或稱斜對稱矩陣 (skew-symmetric matrix) 與特殊的一類正交矩陣 (orthogonal matrix) 具有一對一的對應關係。

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , , , | Leave a comment

每週問題 March 3, 2014

這是關於二個半正定矩陣積的跡數與二次型問題。 Let and be real symmetric matrices and let and be positive semidefinite. Prove the following statements. (a) If , then . (b) If for all real , then .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , , , , | Leave a comment