Tag Archives: 反證法

證明細解 1

本文的閱讀等級:初級 表面上,數學證明是演繹法的舞台,但本質上,數學證明是一門具有歸納性質的實驗科學活動。面對數學證明問題,我們不僅希望了解各種可能的證明方法,還試圖理解這些證法背後的動機與思維。美國數學家波利亞 (George Polya) 在其名著《怎樣解題》(How to Solve It) 主張數學解題 (包括證明) 過程可分為下列四個階段。 了解問題:要知道未知數是什麼?已知數是什麼?條件是什麼? 擬定計畫:找出已知數與未知數之間的關係。如果這個關係不是很明確,可以嘗試考慮類似的問題。最後,我們應該能想出解題的計畫。 執行計畫:將解題計畫付諸實現,仔細檢查每一個步驟。 驗算與回顧:驗算所得的解答,檢驗每一個論證步驟是否正確。 我們按照波利亞的指點練習如何通過有效的提問激發想法,從而構思出證明計畫,跨越障礙直達問題的核心。從實踐面來看,最為困難的證明階段在於擬定計畫。我想到的一個應對方法是細解一些線性代數定理的精彩證明,以探索法 (heuristic) 對論證推理的每一個步驟作徹底的研究。   定理. 令 與 為 階矩陣。若 ,則 。 Advertisements

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反證法與逆否命題法

本文的閱讀等級:中級 英國數學家哈代 (G. H. Hardy) 說[1]:「歐幾里得喜好的歸謬法 (reductio ad absurdum) 是數學家最精良的武器之一。它比起棋手所用的任何戰術還要好:棋手可能需要犧牲一個卒子或其他棋子,但數學家提供整個遊戲。」歸謬法是一種間接論證方式,先假設某個命題不成立,然後推理出矛盾、不符合已知的事實或荒謬的結果,從而論斷該命題成立。在命題易於作否定陳述,假設條件僅提供少量訊息,或缺乏明確的直接證明思路時,歸謬法便可派上用場。反證法 (proof by contradiction) 是狹義的歸謬法,兩者的差別在於反證法只限於推理出邏輯上矛盾的結果。因此,反證法經常應用於證明數學定理。具體地說,我們要證明一個陳述「若 則 」,記為 ,其中 是條件, 是命題,也就是說, 是 的一個充分條件, 是 的一個必要條件。反證法假定 與 (非 ) 同時成立,然後設法推論出 。但 是某個已知的事實或條件,這樣就得到一個矛盾 。在反證法中, 可以是 ,,或其他已知的事實或條件。如果 ,反證法要證明 ,即 。如果 ,反證法要證明 。

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無限維向量空間的基底

本文的閱讀等級:高級 向量空間 的一組基底是一個向量集合 ,滿足兩個條件 (見“基底與維數常見問答集”): 是一個線性獨立集,即 蘊含 ; 生成 (span) ,即任何一個向量 可表示為 的線性組合,。 若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。任何一個有限維向量空間都存在一組基底,維數定理 (dimension theorem) 聲明:有限維向量空間的任一組基底包含的向量數等於其他任何基底的向量數 (證明見[1],為了不中斷討論,證明都放在文末的註解)。根據維數定理,有限維向量空間 的維數定義為任何一組基底的基數 (cardinal number,集合的元素數),記為 。例如, 是所有的 維實向量 構成的向量空間,標準基底為 ,其中 是標準單位向量 (第 元為 ,其餘元為 ),故 。另外, 是所有的次數不大於 的複係數多項式 構成的向量空間,標準基底為 ,因此 。下面列舉幾個無限維向量空間[2]: 是複係數多項式 構成的向量空間; … Continue reading

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常係數線性遞迴關係式 (上)

本文的閱讀等級:初級 一 階常係數線性遞迴關係式 (linear recurrence relation) 可表示如下: , 其中 是常數,, 稱為控制項。滿足上式的序列 稱為線性遞迴數列,由設定的初始值 唯一決定。考慮較簡單的情況,,我們稱之為齊次 (homogeneous) 遞迴關係式。例如,費布納西 (Fibonacci) 數列 的二階遞歸生成規則如下 (見“費布納西數列的表達式”): , 初始條件為 和 。通項 的代數表達式有兩種常見解法:母函數法 (見“遞迴關係式的母函數解法”) 與線性代數法。下面以費布納西數列為例說明兩個線性代數解法。

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每週問題 August 17, 2015

若 ,則 的特徵值全為零。 Let and be matrices. If , show that all eigenvalues of are zero.

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每週問題 August 10, 2015

若 是非零矩陣, 可推論出甚麼結果? Let and be nonzero matrices. If , show that and are singular.

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每週問題 July 27, 2015

證明不存在恆定相似變換矩陣使任一矩陣相似於其轉置。 Prove that there is no nonsingular matrix such that for every matrix , .

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相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣, 為特徵值, 為對應的特徵向量。本文證明這個重要的定理:對應相異特徵值的特徵向量組成一個線性獨立集。(其他證法見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”,“每週問題 June 11, 2012”,“利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量”。) 例如, 有特徵值 ,對應特徵向量 ,以及特徵值 (代數重數為 ),對應特徵向量 和 (幾何重數為 )。根據上述性質, 和 都是線性獨立集。

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