Tag Archives: 反 Hermitian 矩陣

每週問題 July 18, 2016

這是關於反對稱矩陣 (skew symmetric matrix) 與反 Hermitian 矩陣的問題。 Prove that each of the following statements is true. (a) If is skew symmetric, then for each . (b) If is skew Hermitian, then each is a pure imaginary number. (c) If is … Continue reading

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每週問題 May 11, 2015

證明反 Hermitian 矩陣的特徵值為純虛數。 Show that the eigenvalues of any skew-Hermitian matrix are pure imaginary number.

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每週問題 February 2, 2015

本週問題關於 Cayley 變換。 Let be a skew Hermitian matrix. Show that Cayley transformation is a unitary matrix.

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交換子與可交換矩陣

本文的閱讀等級:高級 我們知道矩陣乘法不總是滿足交換律,即 ,其中 和 是 階矩陣。但如果 ,我們說 和 是可交換矩陣 (或對易矩陣)。當矩陣具備清晰的幾何意義時,無須計算也很容易判斷它們是否為可交換矩陣。譬如,在二維空間 ,令旋轉矩陣 表示逆時針旋轉 角,伸縮矩陣 表示 軸伸縮 倍, 軸伸縮 倍,如下 (見“幾何變換矩陣的設計”): 。 從幾何直觀即可確定 ,而且若 ,則 。自然地,我們想探究:對於旋轉矩陣 ,甚至任意矩陣 ,哪些 滿足乘法交換律?不過說來奇怪,找尋可交換矩陣問題並不常見於線性代數教科書。是因為這個問題不值得討論,還是因為這個問題尚未被解決?值不值得討論屬於主觀認知,在此不予評論。不過客觀的事實是:僅使用基礎線性代數知識便可求出 的所有可交換矩陣 。為了探討可交換矩陣問題,我們定義交換子 (commutator,或稱對易算符) 為 與 的差,記為 。 若 ,則 , 和 是可交換矩陣。明顯地, 且 … Continue reading

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轉置與共軛轉置

本文的閱讀等級:初級 矩陣具有加法與純量乘法運算。除了這兩個源自純量算術的運算,矩陣還有一個獨特的運算,稱為轉置 (transpose)。令 為 階矩陣。我們定義 的轉置,記作 ,為一個 階矩陣,其中 。換句話說,將 的列行對調即得轉置矩陣 ,如下例, 。 明顯地,。若 表示成分塊矩陣,則 不僅置換列行分塊,每一個分塊也必須隨之轉置,例如, 。 一般而言,轉置適用於實矩陣。在許多應用中,複矩陣的轉置常會附加共軛運算,稱為共軛轉置 (conjugate transpose)。複數 的共軛定義為 ,其中 且 。類似複數的共軛運算, 的共軛矩陣為 ,共軛轉置則為 ,或簡記為 。例如, 。 如同轉置運算,連續兩次共軛轉置不改變矩陣,。若 是實矩陣,共軛轉置退化成轉置,即 。下面我們討論 (共軛) 轉置與其他矩陣運算的結合,並介紹一些由 (共軛) 轉置所界定的特殊矩陣。

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矩陣與複數的類比

本文的閱讀等級:高級 定義於向量空間 的任一線性變換可以用一個 階複矩陣表示 (參考某基底)。除了少數特殊矩陣,如對角矩陣、投影矩陣、旋轉矩陣,和鏡射矩陣等,學者經常無法清楚地掌握矩陣變換的確實行為,主要原因是人們很難想像高維 () 向量空間,遑論向量在這些空間中的變換。欲洞察任意方陣的映射行為雖非易事,但也不是全然無跡可循,本文介紹一個認識矩陣作為的方法──透過矩陣與複數的類比來區分界定重要的特殊方陣。對複矩陣陌生的讀者,請先閱讀背景文章 “從實數系到複數系”。

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特殊矩陣 (2):正規矩陣

本文的閱讀等級:中級 基礎線性代數曾經介紹實對稱矩陣是正交可對角化的 (orthogonally diagonalizable),即特徵向量組成完整的單範正交集 (orthonormal set),詳見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”。還有哪些矩陣也是正交可對角化?要完整的回答此問題,必須將實數系延伸至複數系 (見“從實數系到複數系”)。令 為一個 階複矩陣。若 和 是可交換矩陣,即 , 則 稱為正規矩陣 (normal matrix)。正規矩陣最重要的等價性質是可么正對角化 (unitarily diagonalizable),非正規矩陣不可么正對角化。么正對角化是說 ,其中 是一個么正 (unitary) 矩陣,,且 是一個對角矩陣。

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