Tag Archives: 可交換矩陣

每週問題 April 17, 2017

這是網友范智忠提供的問題。 Let and be matrices. If , show that . Advertisements

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每週問題 April 3, 2017

找出所有的可交換矩陣。 Find all matrices commuting with , where is the matrix all elements of which are equal to .

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每週問題 March 27, 2017

若對角矩陣有相異對角元與某個矩陣是可交換的,則該矩陣也是對角矩陣。 Prove the following statements. (a) Let , where are distinct. If , then is a diagonal matrix. (b) Let , where are distinct and nonzero, and be an matrix, where . If and , then .

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答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

網友DJWS留言: 想請教老師一個問題:給定矩陣 ,使用一連串的鏡射變換,變成其轉置 ,該如何做呢?

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每週問題 September 12, 2016

證明可交換矩陣的一個充要條件。 Let and be matrices. Suppose that the eigenvectors of span and have distinct eigenvalues. Show that if and only if and have the same set of eigenvectors (with possibly different eigenvalues).

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每週問題 January 4, 2016

計算可交換矩陣構成的分塊矩陣的特徵值。 Let and be matrix. If , find the eigenvalues of .

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利用舒爾引理證明可交換矩陣同時可三角化

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階兩兩可交換 (commuting) 矩陣集,也就是說任兩矩陣 和 滿足 。以下考慮 。可交換矩陣集 的所有矩陣同時可三角化,具體而言,存在一么正 (unitary) 矩陣 ,,使得 ,,為上三角矩陣 (見“同時可三角化矩陣”)。本文介紹一個利用舒爾引理 (Schur’s lemma) 的證明方法。

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每週問題 December 14, 2015

這是可交換矩陣的秩不等式證明問題。 Let and be matrices. If , show that .

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每週問題 October 19, 2015

這是可交換矩陣的多項式表達問題。 Let and be matrices such that . If has distinct eigenvalues, show that can be expressed uniquely as a polynomial in with degree no more than .

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正規矩陣的等價條件

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。若 ,也就是說 和 可交換,則 稱為正規矩陣 (normal matrix)。例如,實對稱矩陣 、Hermitian 矩陣 、反共軛對稱矩陣 ,以及么正 (unitary) 矩陣 皆為正規矩陣 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。目前已知的正規矩陣等價條件大約有 90 個[1],其中很多條件引用的概念相近,另有少許冷僻艱澀。本文挑選 25 個 (文獻[2]列舉出 70 個) 有關於特徵值、特徵向量、奇異值、跡數、範數、二次型、可交換、不變子空間 (invariant subspace)、正定、譜分解 (spectral decomposition),以及極分解 (polar decomposition) 等較具代表性的等價條件,並給出證明 (部分已刊登的證明僅提供連結)。

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