Tag Archives: 可交換矩陣

每週問題 August 31, 2015

這是關於正規可交換矩陣的問題。 If and are normal matrices and , show that , , and is a normal matrix.

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每週問題 June 29, 2015

給定矩陣 ,找出所有的可交換矩陣 使得 。 Let . Find all matrices such that .

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Cayley 變換

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若 可逆,英國數學家凱萊 (Arthur Cayley) 於1846年提出下列變換,稱為 Cayley 變換[1]: , 其中 與 是可交換矩陣 (證明見註解[2])。除非特別註明,以下考慮實矩陣。通過 Cayley 變換,反對稱矩陣 (anti-symmetric matrix) 或稱斜對稱矩陣 (skew-symmetric matrix) 與特殊的一類正交矩陣 (orthogonal matrix) 具有一對一的對應關係。

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交換子與可交換矩陣

本文的閱讀等級:高級 我們知道矩陣乘法不總是滿足交換律,即 ,其中 和 是 階矩陣。但如果 ,我們說 和 是可交換矩陣 (或對易矩陣)。當矩陣具備清晰的幾何意義時,無須計算也很容易判斷它們是否為可交換矩陣。譬如,在二維空間 ,令旋轉矩陣 表示逆時針旋轉 角,伸縮矩陣 表示 軸伸縮 倍, 軸伸縮 倍,如下 (見“幾何變換矩陣的設計”): 。 從幾何直觀即可確定 ,而且若 ,則 。自然地,我們想探究:對於旋轉矩陣 ,甚至任意矩陣 ,哪些 滿足乘法交換律?不過說來奇怪,找尋可交換矩陣問題並不常見於線性代數教科書。是因為這個問題不值得討論,還是因為這個問題尚未被解決?值不值得討論屬於主觀認知,在此不予評論。不過客觀的事實是:僅使用基礎線性代數知識便可求出 的所有可交換矩陣 。為了探討可交換矩陣問題,我們定義交換子 (commutator,或稱對易算符) 為 與 的差,記為 。 若 ,則 , 和 是可交換矩陣。明顯地, 且 … Continue reading

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每週問題 March 18, 2013

這是可交換矩陣的矩陣指數證明問題。 Let and be matrices. Prove the following statements. (a) If , then . (b) If for all , then .

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每週問題 February 18, 2013

這是關於實對稱可交換矩陣的特徵值問題。 Let and be real symmetric matrices. If is symmetric, show that every eigenvalue of can be written as , where is an eigenvalue of and is an eigenvalue of .

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循環向量定理

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。對於 維向量 ,如果向量集 構成 的一組基底,則 稱為 的一個循環向量 (cyclic vector)。任一方陣 未必總是存在循環向量,譬如,單位矩陣 ,因為對於所有 ,。本文證明循環向量定理,包含下列等價陳述: 有一個循環向量。 相似於一個相伴矩陣 (companion matrix)。 的最小多項式即為其特徵多項式。 若 和 是可交換矩陣,,則 是由 形成的矩陣多項式,即 , 是一個多項式。

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答Louie──關於同時可對角化的證明

網友Louie留言: 老師你好,在第34堂課的最後,我有個問題:If and are diagonalizable, they have the same eigenvectors if and only if . 由左推到右,老師上課講的很清楚。但是由右推到左,在下才疏學淺,看了講義還是一知半解,想請問老師有沒有其它的算法能救救我?

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每週問題 May 28, 2012

給定方陣 ,證明所有可交換矩陣 形成的集合為一個子空間。 Let be an matrix. Show that , the set of all the matrices commuting with , is a vector space.

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每週問題 February 27, 2012

這是可交換矩陣的可對角化問題。 Pow-Feb-27-12 參考解答 PowSol-Feb-27-12

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