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線性規劃 (四):單形法

本文的閱讀等級:中級 美國數學家丹齊格 (George Dantzig) 於1947年提出第一個有效的線性規劃算法──單形法,或稱單純形法 (simplex method),被後人譽為線性規劃之父。1946年丹齊格從加州大學柏克萊分校取得博士學位,次年他以數學顧問身分為美國空軍工作,經常他被要求解決一些與規劃相關的問題,譬如,如何配置預算、人力、飛機,及其他資源使達到最佳的成本效益。因為這些問題多少與經濟學有關,丹齊格跑去徵詢經濟學家科普斯曼 (Tjalling Koopmans,1975年諾貝爾經濟學獎得主)。丹齊格設想經濟學家應當早已發展出解線性規劃問題的技術,出乎意料之外,科普斯曼告訴他經濟學家也沒有線性規劃問題的系統化解法。於是在1947年的暑假,丹齊格決定自己著手尋找一個方法[1]。

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線性規劃 (三):最佳基可行解定理

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線性規劃 (二):端點與基解

本文的閱讀等級:中級 線性規劃的標準型問題具有下列形式: 其中 是一個 階矩陣, 是 維向量, 是 維向量, 是 維未知向量 (見“線性規劃 (一):標準型問題”)。如果 無解,線性規劃問題即不成立。因為這個緣故,我們要求 ,即約束等式的數目不多於未知數的數目。如果 有線性相關的列向量 (row vector),表示系統存在冗餘的約束條件 (可將多餘條件刪除),譬如,,,或約束條件彼此矛盾 (此時系統無解),譬如,,。為了避免捲入這些無謂的情況,以下假設 有 個線性獨立的列向量,即 ,且 (若 ,則 有唯一解)。

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