Tag Archives: 可逆矩陣

每週問題 May 1, 2017

證明嚴格對角佔優 (strictly diagonally dominant) 矩陣是可逆矩陣。 Let be an matrix. Prove that if for , then is invertible. Advertisements

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證明細解 2

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若存在同階矩陣 使得 ,則 稱為可逆 (invertible) 矩陣。若 有 個線性獨立的行 (column) 與列 (row),即滿秩,記作 ,則 稱為非奇異 (nonsingular) 或非退化 (nondegenerate) 矩陣。可逆矩陣與非奇異矩陣是同義的。我們要證明可逆矩陣的一個充要條件:可逆矩陣不具備「毀滅性」的矩陣乘法,詳述於下列定理。   定理. 令 為一個 階矩陣。每一個 階非零矩陣 使得 若且惟若 是一個可逆矩陣。

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每週問題 August 10, 2015

若 是非零矩陣, 可推論出甚麼結果? Let and be nonzero matrices. If , show that and are singular.

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每週問題 August 3, 2015

這是判定可逆矩陣的問題。 Let be an matrix. If for any nonzero matrix , show that is nonsingular.

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每週問題 January 6, 2014

這是推導可逆矩陣的練習問題。 Let and be matrices. If is nonsingular, show that is nonsingular.

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每週問題 December 9, 2013

這是關於等價標準型和奇異值分解的應用問題。 Let be an matrix of rank . Prove that there exists an matrix of rank such that is invertible.

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每週問題 September 23, 2013

這是通過零空間證明一特殊分塊矩陣的可逆性。 Let be an real matrix. If , show that is nonsingular. Note that is the nullspace of and is the column space of .

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每週問題 April 15, 2013

試證明任何方陣都可分解表示成兩個可逆矩陣之和。 Show that any matrix is the sum of two invertible matrices.

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可逆矩陣定理之實戰演練

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階矩陣,若存在一 階矩陣 使得 且 ,我們稱 是可逆矩陣, 則稱為 的逆矩陣,記為 。可逆矩陣定理貫穿線性代數的許多重要主題,提供了多面向的可逆矩陣判別方式 (見“可逆矩陣定理”)。本文透過證明一個簡單的命題來演練可逆矩陣定理中一些概念與方法,包含定義、行列式、列等價、零空間、特徵值和矩陣秩。我們要證明的命題是:若 ,則 是不可逆矩陣。(相關討論請見“特殊矩陣 (1):冪零矩陣”。)

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利用模算術判定可逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 給定 , 若不實際計算矩陣秩或行列式,從矩陣型態如何判定 是可逆矩陣?如果我們能證明 ,即知 是可逆矩陣。對於 階矩陣 ,回想行列式的運算公式 (見“行列式的運算公式與性質”) , 其中 代表對應列置換 的排列矩陣。觀察發現上例 的主對角元都是奇數,非主隊角元都是偶數。根據行列式的運算公式, 僅有一項 是奇數,其餘各項皆為偶數,推論 是奇數,故必不為零,即證明 是可逆矩陣。一整數 是偶數或奇數取決於 除以 的餘數是 或 ,這種表述方式可以加以推廣為模算術 (modular arithmetic)。本文介紹模算術的基礎知識,並解說如何利用模算術來判定可逆矩陣。

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