Tag Archives: 可逆矩陣

行列式之一元滅絕法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。將 的 元 以 取代,其餘元維持不變,稱新矩陣為 。那麼對於每一可逆矩陣 ,是否總是存在一元 使得 不可逆,即 ?明顯地,當 ,只要用 取代 的唯一元即可。當 ,令 且 。若 不含零元,適當地改變 的任何一個元都可消滅行列式,譬如,。若 包含零元,設 ,則 ,將 或 改成 ,如此製造一零列或零行即可達到目的 (但不論改變 ,仍然有 )。下面我們使用行列式運算公式和矩陣行 (列) 空間分析來推導 階行列式的「一元滅絕法」。 Advertisements

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這是可逆矩陣嗎?

給定 , 如果不實際算出矩陣秩或行列式,我們可以從矩陣型態判定 是可逆矩陣嗎? In problem solving, as in street fighting, rules are for fools: do whatever works–don’t just stand there! Yet we often fear an unjustified leap even though it may land us on a correct result. Traditional mathematics … Continue reading

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每週問題 October 15, 2012

本週問題是證明一個常用的重要性質:可逆矩陣變換不改變向量集的線性獨立關係。 Let be an matrix and be linearly independent. Show that is nonsingular if and only if are linearly independent.

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可逆矩陣之左逆矩陣等同右逆矩陣的證明

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若存在一個 階矩陣 使得 且 ,我們稱 是可逆矩陣 (invertible matrix),並稱 為 的逆矩陣 (inverse,或稱反矩陣),記作 。以上是多數線性代數教科書採用的逆矩陣定義。為了使定義完備,滿足前述關係的 必定由 唯一決定。假設 有左逆矩陣 使得 ,且 有右逆矩陣 使得 ,運用矩陣代數不難證明左逆矩陣 等同右逆矩陣 ,如下: 。 傳統的逆矩陣定義聲明 的左逆矩陣和右逆矩陣同時存在,但既然可逆矩陣的左逆和右逆確係相同,那麼何不採行更簡明的定義方式?譬如,若存在一個 階矩陣 使得 , 即為 的逆矩陣。如果我們接受這個新定義,緊接著就應當證明:若 ,則 。不過,證明過程不得假設 的左逆矩陣存在,否則新定義便與傳統定義無異。下面介紹基於簡約列梯形式、矩陣秩、基底、線性變換和 Cayley-Hamilton 定理的不同證明方法。如果讀者知道其他證法,也歡迎補充添加。

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每週問題 May 3, 2010

本週問題是關於由線性獨立向量內積所構成矩陣的性質證明。 點選問題↓ Pow-May-3-10 參考解答↓ PowSol-May-3-10

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可逆矩陣定理

本文的閱讀等級:初級 可逆矩陣定理貫穿線性代數的許多重要主題,如線性方程、線性獨立、向量空間、行列式、特徵值和奇異值;不論準備考試或自我充實,可逆矩陣定理好比「線代雞湯」是極佳的觀念複習濃縮菁華。本文解釋部分陳述並說明常用的推論路徑,並未給出可逆矩陣定理的完整證明。

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每週問題 January 4, 2010

本週問題是如何證明矩陣是可逆的,牽涉矩陣代數演算並需配合零空間性質。 點選問題↓ Pow-Jan-4-10 參考解答↓ PowSol-Jan-4-10

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