Tag Archives: 同時可對角化

常態分布與二次型

本文的閱讀等級:中級 服從多變量常態分布 (normal distribution) 的隨機向量 (隨機變數組成的向量) 的機率密度函數完全由平均數向量 和共變異數矩陣 決定,記為 。若 ,我們說隨機向量 服從標準多變量常態分布,其中隨機變數 相互獨立。本文討論具多變量常態分布的隨機向量所構成的二次型 ,其中 是實對稱矩陣,並引介一個重要的統計分布──卡方分布 (chi-squared distribution)。本文的預備知識包括 (見“多變量常態分布”): 期望值 是線性算子,共變異數矩陣 是半正定 (對稱) 矩陣。 服從常態分布的隨機向量的仿射變換 (affine transformation) 也為常態分布。令 為一 維隨機向量,且 。若 ,其中 是 階常數矩陣, 是 維常數向量,則 ,即 且 。 令 和 … Continue reading

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交換子與可交換矩陣

本文的閱讀等級:高級 我們知道矩陣乘法不總是滿足交換律,即 ,其中 和 是 階矩陣。但如果 ,我們說 和 是可交換矩陣 (或對易矩陣)。當矩陣具備清晰的幾何意義時,無須計算也很容易判斷它們是否為可交換矩陣。譬如,在二維空間 ,令旋轉矩陣 表示逆時針旋轉 角,伸縮矩陣 表示 軸伸縮 倍, 軸伸縮 倍,如下 (見“幾何變換矩陣的設計”): 。 從幾何直觀即可確定 ,而且若 ,則 。自然地,我們想探究:對於旋轉矩陣 ,甚至任意矩陣 ,哪些 滿足乘法交換律?不過說來奇怪,找尋可交換矩陣問題並不常見於線性代數教科書。是因為這個問題不值得討論,還是因為這個問題尚未被解決?值不值得討論屬於主觀認知,在此不予評論。不過客觀的事實是:僅使用基礎線性代數知識便可求出 的所有可交換矩陣 。為了探討可交換矩陣問題,我們定義交換子 (commutator,或稱對易算符) 為 與 的差,記為 。 若 ,則 , 和 是可交換矩陣。明顯地, 且 … Continue reading

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每週問題 February 18, 2013

這是關於實對稱可交換矩陣的特徵值問題。 Let and be real symmetric matrices. If is symmetric, show that every eigenvalue of can be written as , where is an eigenvalue of and is an eigenvalue of .

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答Louie──關於同時可對角化的證明

網友Louie留言: 老師你好,在第34堂課的最後,我有個問題:If and are diagonalizable, they have the same eigenvectors if and only if . 由左推到右,老師上課講的很清楚。但是由右推到左,在下才疏學淺,看了講義還是一知半解,想請問老師有沒有其它的算法能救救我?

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同時可對角化矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 和 為 階矩陣。我們知道矩陣乘法交換律未必成立,但如果 ,便稱 和 是可交換矩陣 (commuting matrices)。若 和 都是對角矩陣,則它們是可交換矩陣。這個簡單的事實暗示我們可對角化矩陣和可交換矩陣之間似乎存在某種關聯,本文就來探討兩個可對角化矩陣必須滿足什麼性質才會是可交換矩陣。

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