Tag Archives: 同構

答matrix67──關於二相似矩陣的行空間與零空間的關係

網友matrix67留言: 老師您好,二相似矩陣有相同的列空間和零空間嗎?因為二相似矩陣是同一個線性變換 在不同基底下的表示矩陣,所以直觀上來想二相似矩陣的列空間應該都是 ,零空間都是 。但是事實似乎不是的,那麼如何理解這個問題呢?同時那一個矩陣的列空間與零空間和線性變換的 image 與 kernel 是相同的呢? Advertisements

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答Avis──關於行秩等於列秩的幾何背景

網友Avis留言: 老师你好,经常关注你的Blog“线性代数启示录”,很喜欢里面的内容。这里有一个问题想请教一下,是学习线性代数多年来觉得比较有意思的地方,为什么矩阵的行秩等于列秩?当然我这里问的不是怎么证明,而是想问是否有更为本质的几何和物理背景?对于几何背景不限于行空间的维数等于列空间维数这样的,而是更想知道到底是怎么样一种结构,使得行列空间秩相同。我之前一直把这个结论,认为是数学的一种“巧合”。在这样的“巧合”之下我们对于一个矩阵就只用定义一个秩 (因为行列秩相同)。

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圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣

本文的閱讀等級:中級 在線性變換中,最令學者困惑的主題莫過於揉合了基底、座標、線性變換與其表示矩陣的變換問題。令 為一個定義於 的向量空間,。設 和 是向量空間 的兩組基底。以下是四個典型的變換問題[1]。 Q1 基底變換:若 , 且 ,向量 和 有甚麼關係? Q2 座標變換:若 ,,座標 和 有甚麼關係? Q3 相似變換:若 且 ,,線性變換 和 有甚麼關係? Q4 相似矩陣:若 且 ,,矩陣 和 有甚麼關係?

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線性變換與矩陣的用語比較

本文的閱讀等級:初級 在線性代數中,線性變換 (線性映射) 是矩陣的一種抽象描述,矩陣則是線性變換的具體實現。令 是一個從向量空間 映至向量空間 的變換,其中 稱為定義域 (domain), 稱為到達域 (codomain)。每一個向量 經由 映至 的一個向量 ,稱為 的像 (image)。對於任何 與純量 [1],如果 滿足 則 稱為一個線性變換。若 , 也稱為線性算子 (linear operator)。假設 和 是有限維向量空間, 且 。令 和 分別為向量空間 和 的基底。任一線性變換 可用矩陣乘法表示如下 (見“線性變換表示矩陣”): , 其中 是向量 參考 … Continue reading

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線性世界的根基──疊加原理

本文的閱讀等級:初級 多項式插值 (polynomial interpolation) 是一個典型的數值分析問題,其目的在尋找通過一組採樣數據的多項式,詳述於下:給定一組 個數據點 ,,其中 彼此相異,求最小次多項式 滿足 。 最直接的作法是設 為一個 次多項式 。 將已知條件代入 就得到未知數為 的線性方程,以矩陣形式表達如下: 。 上式的係數矩陣稱為 Vandermonde 矩陣,相異的 保證係數矩陣是可逆的 (見“特殊矩陣(8):Vandermonde 矩陣”),此線性方程解即為所求的多項式係數。接下來我們要討論的是另一個多項式插值法,稱為 Lagrange 內插多項式,並由此展開線性世界的尋根之旅。

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座標變換與基底變換的對應關係

本文的閱讀等級:中級 基底 (或簡稱基) 是附著於向量空間的一組座標系統。設 是 維向量空間 的一組基底,我們知道任何向量 都可以寫成基底向量 的線性組合 而且權重 由向量 唯一決定。將有序純量 視為 向量 (複數空間則為 ),記作 ,意指 參考基底 的座標向量。因為向量 和座標向量 存在一對一的映射關係: 我們稱向量空間 和幾何向量空間 是同構的 (isomorphic,“同構的向量空間”)。座標映射的實際功用是把發生於向量空間 的問題搬移至另一個富含幾何意義的 空間來處理,待處理完畢後,再將結果轉換回原本的 空間。顯然,一向量若參考不同的座標系統 (即基底),便有不同的座標;反過來講,在不同的座標系統下,同一座標向量則對應不同的向量。本文稱前者為座標變換 (change of coordinates),後者為基底變換 (change of basis)。不過,這僅是為了方便討論才如此區分,許多文獻並不必然採用本文的定義。

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同構的向量空間

本文的閱讀等級:初級 1990年,美國國家科學基金會 NSF 資助成立一個線性代數課程研究小組,研議新一代大學線性代數課程綱領。結論包含五項建議[1],其中關於線性代數教學內容部分,研究小組建議應符合不同領域的實務需求,基礎線性代數講授應導向矩陣及其應用。修改教程的意圖顯然是減少線性代數的抽象內容,以加速線性代數於其他學門的普及應用。此後出版的一些教科書也逐漸將課程綱要從以往的線性變換基調轉移至矩陣與向量空間並行的發展主軸。今天,除了幾何變換或座標變換之外,我們不常在課本中發現線性變換的蹤影。本文將解釋這項變革背後的緣由,主要的思維是利用座標映射概念聯繫有限維向量空間與幾何向量空間 (或複向量空間 )。

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