Tag Archives: 同餘

有限體與模算術

本文的閱讀等級:中級 從前,在一個遙遠的小城裡住著 個居民,他們主要的職業是組成各式各樣的俱樂部。由於某種不明的原因,不斷擴增的俱樂部開始威脅小城的生存。為了管制俱樂部總量,市議會決議通過兩條看似天真的法令: 每一個俱樂部必須有奇數個會員。 任兩個俱樂部必須有偶數個相同的會員。 小城市長宣稱:「有了這兩條法令,本城的俱樂部總數不會多於居民人口。」下面我們用線性代數方法來證明這個組合數學定理[1]。 Advertisements

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利用模算術判定可逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 給定 , 若不實際計算矩陣秩或行列式,從矩陣型態如何判定 是可逆矩陣?如果我們能證明 ,即知 是可逆矩陣。對於 階矩陣 ,回想行列式的運算公式 (見“行列式的運算公式與性質”) , 其中 代表對應列置換 的排列矩陣。觀察發現上例 的主對角元都是奇數,非主隊角元都是偶數。根據行列式的運算公式, 僅有一項 是奇數,其餘各項皆為偶數,推論 是奇數,故必不為零,即證明 是可逆矩陣。一整數 是偶數或奇數取決於 除以 的餘數是 或 ,這種表述方式可以加以推廣為模算術 (modular arithmetic)。本文介紹模算術的基礎知識,並解說如何利用模算術來判定可逆矩陣。

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商空間 (上)

本文的閱讀等級:中級 令 是向量空間 的一個子空間。若 的任一子空間 滿足 ,即 且 ,其中 ,我們說 是 與 的直和 (direct sum),且 稱為 的補子空間 (或補空間)。在此情況下,每一 皆可唯一分解為 ,其中 , (見“補子空間與直和”)。若 是一個有限維內積空間,則 有唯一的正交補餘 (orthogonal complement),記為 ,上述唯一分解式另外滿足 ,即 。如果 不是內積空間,則不存在自然且唯一的補子空間。本文介紹一個由 與 建構而成的自然且唯一的向量空間,稱為商空間 (quotient space),記作 。不過, 不是 的一個子空間,因此並非 的補子空間。商空間 的主要性質是它與 的每一個補子空間 … Continue reading

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