Tag Archives: 向量空間

答王昭晴──關於線性代數之“線性”一詞的涵義

網友王昭晴留言: 老師您好,我最近在回顧過去所學的線性代數時開始有了一些問題。這些事過去不曾仔細思考過就當作一個名詞走馬看花的過去了。尤其是關於“線性”兩個字。為何要特別叫“線性”呢?我的意思是線性代數中一些定義會加註線性兩個字,例如線性向量空間 (linear vector space) 與方程式或者向量的線性組合 (linear combination)。為何要特別稱此二者為線性?難道有非線性的向量空間與非線性的組合嗎?而“線性”二字是否有除了線性方程式以外更深層的意思呢?還是說僅僅只是因為線性代數的發展是從線性方程式開始研究起,就稱作線性了呢? Advertisements

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向量空間與實例

本文的閱讀等級:初級 法國數學家龐加萊 (Henri Poincaré) 說[1]:「數學是給予不同東西相同的名稱的一門藝術。」19世紀末矩陣理論建立後,數學家發現許多與矩陣差異頗大的數學實體在本質上其實非常相似。舉例來說,歐幾里得空間 是一個由點 組成的集合,其中 為實數。在歐氏幾何中,我們可以計算兩個點之和 (兩個向量相加),伸縮連接原點與一個點的線段 (一個向量與一個數相乘)[2]。多項式集合 由最高次數為 的多項式組成,我們可以計算兩個多項式之和,一個多項式可與一個數相乘。不僅如此,這些不同的數學實體在加法以及與純量的乘法運算上和矩陣有著相同的性質。因此,與其分別研究這些數學主題,不如根據它們共有的性質統合在一起研究來得有效率。最終,數學家以抽象的公理化方式定義出一個數學結構,稱為向量空間。任何一個數學實體只要滿足這些規範都可歸類為向量空間。在數學中,空間一詞並不單獨存在,我們可以稱 是一個集合,但不稱 是一個空間。粗淺地說,空間是一個賦予某種數學結構的集合,該數學結構決定空間的名稱。向量空間是一種代數結構,線性變換 (或稱線性映射) 是兩個向量空間之間的一種特殊映射,因此向量空間也稱為線性空間,意即線性變換所在的空間。請注意,我們定義的是向量空間,而非向量。任何一個向量空間的元素都稱為向量,因此本文指稱的向量是幾何向量的推廣。

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歐幾里得空間的數學結構

本文的閱讀等級:中級 歐幾里得空間 是有序數組 (稱為點或向量) 形成的集合,其中 為實數。在歐氏幾何中,譬如平面幾何與空間幾何,我們可以計算兩點之間的距離、多個向量的線性組合 (向量加法與純量乘法)、向量的長度,以及兩個向量之間的夾角。數學家將這些概念予以抽象化,並用公設化方式定義出不同的數學結構,稱為空間。在數學中,空間一詞並不單獨存在,我們可以稱 是一個集合,但不講 是一個空間。粗淺地說,空間是一個賦予某種數學結構的集合,該數學結構決定空間的名稱,例如線性代數讀者熟悉的向量空間。本文概述歐氏空間 的一些數學結構,背後的目的是將有限維空間延伸至無限維空間,其中最重要的一個特例是希爾伯特 (Hilbert) 空間。

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線性代數裡的代數結構

本文的閱讀等級:初級 線性代數是一門探討純量 (標量,scalar) 與向量 (矢量,vector) 的學科,純量即為數,向量 (本文專指幾何向量) 又由純量構造而成,因此瞭解數的基本結構可以幫助我們深化線性代數的理解。我們先介紹三種代數結構:阿貝爾群 (abelian group),群 (group) 以及體 (域,field),隨後討論線性代數處理的核心數學物件──向量空間 (vector space)。

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爲何向量空間沒有向量乘法運算?

若 和 屬於 空間,我們知道向量具有加法運算,令對應各元相加,即 讀者是否想過這個問題:向量空間為何不也定義一個向量乘法運算?如下: 數學家的回答是:行不通!我們允許向量各元相加,卻不接受向量各元相乘。兩向量相乘得到一向量有什麼不好?是因為這個向量乘法運算沒有實際用途,還是另有其他原因?歡迎讀者朋友提供想法,或分享曾經閱聽那本書或那位老師的見解。

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線性變換集合構成向量空間

本文的閱讀等級:初級 線性變換的本質是數學函數,表示為 ,其中向量空間 是定義域,向量空間 是到達域。線性變換 將 映至 。線性變換本身也擁有向量的性質,因為從 映至 的所有線性變換構成的集合具有向量空間結構,本文從這個角度探究線性變換、矩陣和向量空間三者之間的錯綜關係。

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子空間的辨識

本文的閱讀等級:初級 想像有一天你走進一間「數學大賣場」,在靠近「線性代數區」的入口處,一眼就看見標示「向量空間[1]」的陳列架。從琳瑯滿目的商品中你找到了「實幾何空間 」、「複幾何空間 」、「多項式空間 」以及「 階實矩陣空間 」等大宗物品,另外還發現許多印有「子空間」(subspace) 標記的小包裝產品。子空間是線性變換處理的最高層次物件,正確的辨識子空間是學好線性代數必備的基本能力,縱使子空間的外表形式可能複雜多變,但是辨識程序卻是相同的。

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線代入道要門論

序 線性代數者,代數之支也。此學究方程解而來,以結構為本,空間為體,變換為法,演算為用耳[一]。凡學者斷不可不知,而亦至不易究也;蓋其體系洸洋瑰麗,理論精微博大,匯泰西疇人(註一)之大略,集百家藝學(註二)之菁華。初,制定義,設公理;及後,論證明,演算法。徐光啟曰:「不用為用,眾用所基。」線代一門,取經用宏,肆應不窮,可謂當今應數之大功,算學之大成耳。是故銳心學者當奮不顧身,戮力鑽研,索理究解,切毋思逸而廢焉。

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同構的向量空間

本文的閱讀等級:初級 1990年,美國國家科學基金會 NSF 資助成立一個線性代數課程研究小組,研議新一代大學線性代數課程綱領。結論包含五項建議[1],其中關於線性代數教學內容部分,研究小組建議應符合不同領域的實務需求,基礎線性代數講授應導向矩陣及其應用。修改教程的意圖顯然是減少線性代數的抽象內容,以加速線性代數於其他學門的普及應用。此後出版的一些教科書也逐漸將課程綱要從以往的線性變換基調轉移至矩陣與向量空間並行的發展主軸。今天,除了幾何變換或座標變換之外,我們不常在課本中發現線性變換的蹤影。本文將解釋這項變革背後的緣由,主要的思維是利用座標映射概念聯繫有限維向量空間與幾何向量空間 (或複向量空間 )。

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直和與投影

本文的閱讀等級:中級 設向量空間 為子空間 與其補空間 的直和,記為 。對於任意向量 ,直和的意義是僅存在唯一方式分解 為 -成分與 -成分之和。“補子空間與直和”曾舉一例,,其中 為一平面, 為平面外的一直線。對於三維空間中的任意向量 ,我們可以想像 就是將向量 沿著與 平行的直線投影至平面 ,見下圖。注意,直線 上的向量至平面 的投影量為零。

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