Tag Archives: 向量空間

內積的定義

本文的閱讀等級:初級 在幾何向量空間 ,向量 和 的點積 (dot product),或稱內積 (inner product),定義為 。 若將向量 與 寫成 階矩陣,即行向量 (column vector),則其內積可用矩陣乘積表示如下: , 其中 表示行向量 的轉置 (transpose)。上式提示我們轉置的一個重要用途在於計算內積,稍後將詳細說明。多數讀者在中學時就被告知內積的定義,並學會如何用向量內積解決座標幾何問題以及計算物理學的合力與功。事實上,內積運算並不限定於具有幾何座標系統的向量空間,廣義向量空間也有合理的內積運算。溫故而知新,我們先嘗試從幾何向量找出內積定義的根基,進而將內積運算推廣至廣義向量空間。

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破解矩陣秩的等式與不等式證明

本文的閱讀等級:高級 矩陣秩的證明是許多線性代數學習者最感到頭疼的課題之一。本文嘗試破解矩陣秩的證明問題,破解途徑是一併討論矩陣秩的主要等式與不等式,如此讀者可以釐清彼此的關連,並進一步熟悉矩陣秩的證明技巧。本文部分內容曾刊載於過去發表的「每週問題」或「主題專欄」,在此僅提供連結不再贅述,請讀者自行參照閱讀。

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從幾何向量空間到函數空間

本文的閱讀等級:中級 基礎線性代數課程常將討論的向量空間侷限於有限維幾何向量空間 ,主要的原因有兩個:第一是不需要透過座標映射便可將矩陣結構與向量空間結合在一起;第二是幾何向量空間,譬如 與 是高中座標幾何的延伸,由此較容易建立起向量空間的觀念。本文採用問答方式,一步步系統化地介紹如何將幾何向量空間延伸推廣至函數空間。

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