Tag Archives: 單範正交集

單範正交基底

本文的閱讀等級:中級 歐幾里得空間 和 是具有內積運算的向量空間 (見“歐幾里得空間的數學結構”),稱為內積空間。歐幾里得空間 的標準基底 由正交 (垂直) 的單位向量組成,即 且 。令 與 逆時針旋轉 徑度,所得的向量 與 是 的另一組基底。同樣地,基底 滿足 和 。我們稱 與 是歐幾里得空間 的單範正交基底[1] (orthonormal basis)。基底造出向量空間的結構,單範正交基底則造出內積空間的結構。若與非正交基底比較,單範正交基底的最大優勢在於具備清晰的幾何意義而且容易計算。通過討論一般內積空間的單範正交基底的等價條件可以幫助你了解這種特殊基底的應用價值。 Advertisements

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三維空間的旋轉矩陣

本文的閱讀等級:中級 在二維平面上,逆時針方向旋轉 徑度 (弧度,radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”) 。 不難驗證 的特徵值為 和 ,其中 ,並具有下面兩個基本性質: 旋轉矩陣 的兩個行向量 (column vector) 和 組成一個單範正交集 (orthonormal set),也就是說, 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 ,故逆旋轉矩陣為 。 對於任一實正交矩陣 ,,即得 。若 ,則 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 ,旋轉矩陣 是適當的正交矩陣。若 ,則 稱為不適當的正交矩陣,例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”) 。 本文討論常見於電腦圖學 (computer … Continue reading

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