Tag Archives: 四元數

內積與外積是怎麼來的?

本文的閱讀等級:初級 在歐幾里得空間 ,兩個向量的內積與外積是怎麼來的?從決定論 (determinism) 的觀點,內積與外積之所以如此定義,可以用先前的數學發展和事態來解釋。愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 於1843年提出四元數 (quaternion) 的概念。一個四元數是一個實數加上三個虛部 (見“四元數”),記為 ,其中 是實數,虛數單位 滿足基本公式 。1878年,英國數學家克利福德 (William Kingdon Clifford)[1] 出版 Elements of Dynamic,書中首次用純量積 (scalar product) 與向量積 (vector product) 表示兩個四元數的積。今天,我們習慣稱純量積為點積 (dot product) 或內積 (inner product),向量積則稱為外積或叉積 (cross product)。令 ,, 為 的標準單位向量。一個四元數可用純量─向量和表示為 ,其中 … Continue reading

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四元數與三維空間旋轉

本文的閱讀等級:中級 愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 將複數 ,其中 是實數, 是虛數單位,延伸為四元數 (quaternion),即一個實數加上三個虛部, , 其中 是實數,虛數單位 滿足基本公式 。 任一複數 與單位複數 的乘積 可以解讀為點 在二維複數平面逆時針旋轉 徑度 (見“複數的矩陣表示”)。類似地,四元數亦可表示三維空間旋轉,不過這個性質不像複數蘊含平面旋轉那般明顯,因為實在難以想像處於 的四元數如何對 向量執行運算。

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四元數

本文的閱讀等級:初級 四元數 (quaternion) 是愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 於1843年提出的數學概念。任一複數 可表示為實數與虛數之和,,其中 是實數, 是虛數單位。哈密頓明白複數可視為平面上的一個點,他一心想將這個概念延伸至三維空間。在三維空間中,每一個點可由其座標表示,即 3 個有序數 。哈密頓知曉這些點的加法與減法運算,但一直想不透該如何計算乘法與除法。1843年10月16日,哈密頓與夫人在前往都柏林愛爾蘭皇家學會主持會議的途中,沿著皇家運河 (Royal Canal) 旁的小徑散步經過 Brougham (又名 Broom) 橋,突然靈光乍現腦中冒出四元數的基本公式[1]。今天在 Brougham 橋西北方下側安置了一塊石頭牌匾記載這段往事 (刻文見[2])。哈密頓定義的四元數是一個實數加上三個虛部,如下: , 其中 是實數,虛數單位 滿足下列基本公式: 。

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