Tag Archives: 基底變換

答Eric──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣的逆矩陣

網友Eric留言: 您好,我剛初學到這個環節,看了此文後 (答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題),想請教兩個問題: 令 為向量空間, 和 為其上兩組基底,,則 不一定存在吧?是故縱 存在, 也不一定存在吧? 令 存在反函數 ,則矩陣表示法 及 的關係即是 ,我以為似乎不必大費周章討論那麼多? Advertisements

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答cwj──關於奇異值分解背後的涵義

網友cwj留言: 周老師,您好!我是大陸的學生,幾乎每週都到您的“線代啟示錄”上光顧至少2次 (我是翻牆過來的,大陸這邊網路把控得很嚴)。您學問廣博,同時嚴謹而認真,真是我學習的榜樣!今天給您寫信是有一個問題要問您,我在看文獻時碰到這樣的一段描述: Given a matrix , decompose into , and by SVD, assuming is . Normalize each column of . Each column unit vector becomes the new representation of the corresponding ( is the th column of ). This … Continue reading

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答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題

網友npes_87184留言: 線性變換 的定義域與到達域都是向量空間 ,且 和 是 的兩組基底。如果我知道 ,有辦法求得 ?

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圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣

本文的閱讀等級:中級 在線性變換中,最令學者困惑的主題莫過於揉合了基底、座標、線性變換與其表示矩陣的變換問題。令 為一個定義於 的向量空間,。設 和 是向量空間 的兩組基底。以下是四個典型的變換問題[1]。 Q1 基底變換:若 , 且 ,向量 和 有甚麼關係? Q2 座標變換:若 ,,座標 和 有甚麼關係? Q3 相似變換:若 且 ,,線性變換 和 有甚麼關係? Q4 相似矩陣:若 且 ,,矩陣 和 有甚麼關係?

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答林容麟──關於座標變換矩陣的快捷算法

網友林容麟留言: 周老師您好。在 2010/02/problem-set-7-2010 的練習題的第一題(c),要找出 change-of-coordinates matrix from basis to ,請問一下這個矩陣的係數是要怎麼找比較快,像這題答案是 ,那麼若題目的基底(basis)包含4個向量,解出 階 change-of-coordinates matrix 不是很費時嗎?謝謝~   答曰: 我將原問題符號稍做更改,抄錄於下:設 空間中子空間 有兩組 (有序) 基底: 。 求從基底 至基底 的座標變換矩陣 (change-of-coordinates matrix),記為 。

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啊哈!原來變換矩陣這麼簡單

本文的閱讀等級:中級 美國業餘數學大師加德納 (Martin Gardner) 說[1]: 數學家的腦子中總是在找更簡單的方法來解定理和解題目。通常第一個解題方式會寫上滿滿的五十頁,都是深奧、技術性的推理;接著過了幾年以後,另一位數學家,也許比較沒名氣,會突然靈光一現想出一個非常簡單的解法,且只需幾行就解出來了。這類的靈光乍現,想出簡短而優雅的方式來解決問題,現在被心理學家稱之為「啊哈!有了!」(Aha! reactions)。 線性代數的一些抽象概念和理論經常令初學者感到難以掌握,其中線性變換的表示矩陣和參考不同基底之間的座標變換尤其晦澀難懂,部分原因是內容涉及較為複雜的符號表述,但最主要原因其實是目前採用的推論程序過於繁瑣且不具直覺。針對這個主題,我曾經嘗試過不同的講解方式 (見“基底變換”,“線性變換表示矩陣”,“座標變換與基底變換的對應關係”),但都談不上淺顯易懂,更別說讓讀者驚呼「啊哈」!

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座標變換與基底變換的對應關係

本文的閱讀等級:中級 基底 (或簡稱基) 是附著於向量空間的一組座標系統。設 是 維向量空間 的一組基底,我們知道任何向量 都可以寫成基底向量 的線性組合 而且權重 由向量 唯一決定。將有序純量 視為 向量 (複數空間則為 ),記作 ,意指 參考基底 的座標向量。因為向量 和座標向量 存在一對一的映射關係: 我們稱向量空間 和幾何向量空間 是同構的 (isomorphic,“同構的向量空間”)。座標映射的實際功用是把發生於向量空間 的問題搬移至另一個富含幾何意義的 空間來處理,待處理完畢後,再將結果轉換回原本的 空間。顯然,一向量若參考不同的座標系統 (即基底),便有不同的座標;反過來講,在不同的座標系統下,同一座標向量則對應不同的向量。本文稱前者為座標變換 (change of coordinates),後者為基底變換 (change of basis)。不過,這僅是為了方便討論才如此區分,許多文獻並不必然採用本文的定義。

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相似變換下的不變性質

本文的閱讀等級:初級 令 和 為 階實或複矩陣。若存在一個可逆矩陣 使得 ,我們稱 相似於 ,並稱 為 與 之間的相似變換矩陣。根據定義,二個相似矩陣具有甚麼關係?已知 是一個 階可逆矩陣, 的行向量 (column vector) 是線性獨立的,因此可當作 (若是複矩陣則為 ) 的一組基底,記為 。令 代表向量 參考基底 的座標向量。考慮矩陣 所代表的線性變換 ,同樣令 代表 參考基底 的座標向量。將 代入前式, 。 上式指出如果 是線性變換 參考標準基底的表示矩陣,則相似變換 即為 參考基底 的線性變換表示矩陣 (關於線性變換表示矩陣的深入討論可參閱“基底變換”),這是線性代數裡一個非常重要的觀念,讀者務必完全理解。下圖顯示相似變換和線性變換表示矩陣的關係:

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利用逆矩陣積分

本文的閱讀等級:中級 在“從幾何向量空間到函數空間”一文,我說明了函數空間可視為廣義的向量空間;函數的線性運算,例如微分算子,其實就是定義於向量空間裡的線性變換,而積分則是微分算子的逆變換。只要建立適當的基底,線性變換總是能夠以矩陣乘法運算表示,這暗示以逆矩陣實現積分運算的可能性。

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基底變換

本文的閱讀等級:中級 基底變換 (change of basis) 與座標變換 (change of coordinates) 是初學者最難掌握的線性代數主題之一。表面上,基底變換似乎是個莫名其妙的觀念,閒閒沒事幹,為什麼非要改變基底呢?主要原因有二,第一是為了配合應用問題,運用我們的領域知識常可以設計出較能顯現問題特性的基底。舉例來說,農業專家將農地劃分如「田」字的四個等面積區塊,再將各區塊的年收成以 階矩陣表示如下: 農業專家選擇以下的基底並賦予其意義: 表示區塊的平均收成, 測量南北梯度成分, 測量東西梯度成分, 則度量沿 的斜角鞍形成分。收成矩陣 可表示為基底的線性組合: 依序收集四個權重值便組合成 參考基底 的係數向量或稱座標向量,記為 ,如下: 係數向量抽取出易於解讀的資訊:平均收成是 ,南北梯度成分 並不顯著,未發現東西梯度效應,但斜角鞍形成分有 個單位。

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