Tag Archives: 基底

每週問題 May 8, 2017

這是關於基底的一個充分條件問題。 Let be vectors in () such that for . Prove that any of these vectors form a basis of . Advertisements

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每週問題 December 19, 2016

線性相關的向量集的一道線性組合問題。 Let be a vector space, , and let . Prove that if , then there exist scalars not all of them equal to zero such that and .

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每週問題 June 13, 2016

本週問題是推導兩個座標系統的變換矩陣。 Let and be bases for a subspace in . Let and . Show that the change of coordinates matrix from to is .

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每週問題 March 21, 2016

在有限維向量空間的任何一個線性獨立向量集都可擴大成為一組基底。 If is a finite-dimensional vector space and if is any set of linearly independent vectors in , prove that, unless already form a basis, we can find vectors so that is a basis.

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每週問題 March 14, 2016

證明維數定理:一個有限維向量空間的任兩組基底有相同的元素數。 Prove that the number of elements in any basis of a finite-dimensional vector space is the same as in any other basis.

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無限維向量空間的基底

本文的閱讀等級:高級 向量空間 的一組基底是一個向量集合 ,滿足兩個條件 (見“基底與維數常見問答集”): 是一個線性獨立集,即 蘊含 ; 生成 (span) ,即任何一個向量 可表示為 的線性組合,。 若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。任何一個有限維向量空間都存在一組基底,維數定理 (dimension theorem) 聲明:有限維向量空間的任一組基底包含的向量數等於其他任何基底的向量數 (證明見[1],為了不中斷討論,證明都放在文末的註解)。根據維數定理,有限維向量空間 的維數定義為任何一組基底的基數 (cardinal number,集合的元素數),記為 。例如, 是所有的 維實向量 構成的向量空間,標準基底為 ,其中 是標準單位向量 (第 元為 ,其餘元為 ),故 。另外, 是所有的次數不大於 的複係數多項式 構成的向量空間,標準基底為 ,因此 。下面列舉幾個無限維向量空間[2]: 是複係數多項式 構成的向量空間; … Continue reading

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每週問題 February 23, 2015

利用內積空間的基底表達兩個向量的內積。 If is an orthonormal basis for an inner-product space , show that for every .

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每週問題 November 24, 2014

本週問題是尋找函數子空間 的基底。 Let be an vector space of polynomials of degree at most . Find a basis for the subspace of all polynomials in such that .

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矩陣的四個基本子空間的正交投影矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為幾何向量空間 的一個子空間,且 是 的正交補餘 (orthogonal complement),意思是 且 。換一個說法,任一 可唯一分解成 ,其中 ,,且 。令 表示映射至子空間 的 階正交投影矩陣。下列性質成立 (見“正交投影矩陣的性質與界定”): 對於每一 ,。 對於每一 ,。 是實對稱冪等矩陣,即 。 且 。 若 () 且 是 的一組基底,將所有的基底向量組成 階矩陣 ,正交投影矩陣 可由下列公式算得 (推導見“線代膠囊──正交投影矩陣”): 。 值得注意的是 不因所選擇的基底 (即 矩陣) … Continue reading

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線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ,零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間,其中列空間 和零空間 是 的子空間,行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題: 給定一 維向量 ,求線性方程 的通解 ,其中 為一特解,滿足 , 稱為齊次解,滿足 ,即 。 求矩陣 … Continue reading

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