Tag Archives: 基本列運算

翻轉 LU 分解

本文的閱讀等級:初級 愛因斯坦說[1]:「邏輯可以將你由 A 點帶到 B 點,想像則可以帶你到任何地方。」在我想像的翻轉課堂,學生會先在家裡觀看交大出版社發行的線性代數《教學光碟》,沒有購買光碟的學生則到學校圖書館觀看。在教室的時間,學生跟老師一起交流互動,我們經常以問答方式討論課程內容,但學生與老師的角色對調。底下抄錄一段關於 LU 分解的對話,大家可以體驗翻轉課堂的學習情境。 Advertisements

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線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ,零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間,其中列空間 和零空間 是 的子空間,行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題: 給定一 維向量 ,求線性方程 的通解 ,其中 為一特解,滿足 , 稱為齊次解,滿足 ,即 。 求矩陣 … Continue reading

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零空間的快捷算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。齊次方程 的所有解形成的集合稱為零空間 (nullspace) 或核 (kernel),記為 。在線性代數中,零空間的計算主要出現於求線性方程 的通解,以及方陣 () 對應特徵值 的 (非零) 特徵向量 使得 。本文介紹兩個基於簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的零空間快捷算法。

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高斯─約當法

本文的閱讀等級:初級 在解線性方程組的應用上,高斯─約當法[1] (Gauss-Jordan method) 是高斯消去法的延伸 (見“高斯消去法”),其目的要得到最簡約的列等價方程組。高斯消去法產生梯形矩陣後,我們可以繼續執行取代運算將軸元 (pivot) 上方的元悉數消去,並使用伸縮運算迫使軸元為 。高斯─約當法產生的矩陣稱為簡約列梯形式 (reduced row echelon form),由下列四個條件定義 (前兩個條件即為梯形矩陣的性質): 零列置於矩陣最底下。 每列軸元的位置都位於其上方各列軸元的右側。 軸元等於 。 軸元其上方與下方的元皆為零。 下面列舉兩個簡約列梯形式。數字 表示軸元,每一軸元上方和下方的元皆為零,其他各元 (以 表示) 可以是任意數: 。

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高斯消去法

本文的閱讀等級:初級 解線性方程組是線性代數處理的核心問題之一。考慮包含 個未知數 的線性方程式 , 其中係數 與 是給定的純量 (實數或複數)。若線性方程組有 個方程式,則可表示為陣列形式: 線性方程組的解 必須滿足上面 個方程式,也就是說方程組的解是 個方程式各自解的交集。線性方程組的系統化解法最早出現於公元前100年的中國古籍《九章算術》(見“《九章算術》的方程術”),隨後傳入日本和歐洲。今天,我們稱此算法為高斯消去法或高斯消元法 (Gaussian elimination) 以紀念德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的廣泛使用故而推廣了這個方法。

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答ZoneLin──關於基本列運算不保特徵值與特徵向量

網友ZoneLin留言: 周老師您好:請問如果要計算特徵向量時,如果原本的式子是 ,那可不以把矩陣 先用 row operation 化簡成 ,再算 呢?我試過好像不行,可是要如何證明 和 不相等呢?謝謝。

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利用高斯消去法計算特徵值與特徵向量

本文的閱讀等級:初級 很久很久以前,在一所大學的教室裡,年邁的老教授講解完高斯消去法於求解線性方程的應用,猛地發現台下學生大多已睡成一團。老教授從講義夾抽出一頁泛黃的單行紙,在黑板上抄寫了一個 階矩陣 。 隨後他喚醒眾生,聲音嘶啞地說道:「同 (讀音“統”) 學們,現在用你們剛學過的高斯消去法找出滿足 的純量 和非零解 。」語畢,老教授慈祥地望著這群或沉思默想,或奮筆疾書的年輕學子,諾大的教室頓時出奇地安靜。

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矩陣的四個基本子空間基底算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階實矩陣,或說 是一個線性變換 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。矩陣 的值域 (range) 為其行空間 (column space) , 將 以行向量 (column vector) 表示為 ,其中 , 就是行向量 的線性組合形成的一個集合,因為 。 矩陣 的核 (kernel) 為其零空間 (nullspace) 。 對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)。設 ,等號兩邊取轉置可得 … Continue reading

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利用基本列運算實現擴展歐幾里得演算法

本文的閱讀等級:初級 美國計算機科學家高德納 (Donald Knuth) 說[1]: 我們可以稱它是所有演算法的始祖,因為它是至今尚存最古老的不平凡演算法。 高德納所說的「所有演算法的始祖」即為歐幾里得演算法 (Euclidean algorithm),又稱為輾轉相除法,它是求最大公約數的一種算法。最大公約數是指能夠同時整除兩個整數的最大正整數。

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行列式的列行取代運算

本文的閱讀等級:初級 看下面這個問題:已知13282,28565,57971,68382,和94279被29整除。令 。 在不實際算出行列式的前提下,證明 也被29整除。

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