Tag Archives: 基本列運算

無相互作用的矩陣積

本文的閱讀等級:初級 考慮下列 矩陣: 。 矩陣 共有 種排列方式,因此產生 6 個矩陣積,即 , 其中 未產生 項,我們稱這些矩陣乘積無「相互作用」(interaction)。本文要探討的問題是:無相互作用的矩陣積必須滿足何種矩陣排列規則?

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基本矩陣的幾何意義

本文的閱讀等級:中級 假設 與 為幾何向量空間 的兩個向量。請注意,以下向量皆為行向量 (column vector)。若 ,我們稱 為基本矩陣或初等矩陣 (elementary matrix),其中 是單位矩陣, 是秩─1 (rank-one) 矩陣。基本矩陣的名稱源於係每一個基本列運算 (elementary row operation) 都有一個對應的基本矩陣 (見“特殊矩陣(10):基本矩陣”)。基本矩陣是可逆的,其逆矩陣也是基本矩陣,如下: 。 本文推導基本矩陣的行列式公式、特徵值與特徵向量,並解釋基本矩陣的幾何意義。

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左乘還是右乘,這就是問題所在

本文的閱讀等級:初級 蘇東坡遊廬山在西林寺壁題了一首膾炙人口富饒哲理的詩: 橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同,不識廬山真面目,只緣身在此山中。 如果擴大對這首詩的詮釋,它也揭示了一種有效的線性代數學習法──從不同角度觀照,才能看見更多層次的意義。我曾經在“由簡約列梯形式判斷行空間基底”介紹一個矩陣的行空間 (column space) 算法[1],此法所依循的原理是「基本列運算不改變線性獨立的行向量集合」,也稱為保秩 (rank preserving),因此從簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 即可判斷原矩陣的行空間基底。見下例, 。 對 執行基本列運算可得簡約列梯形式 。 矩陣 的第 與 行是線性獨立的 (為什麼?),推知 為 的行空間 的一組基底,但請你注意 的行空間並不等於 的行空間,目視便可確認 : 。 這個事實令人感到困惑:基本列運算的作用是 的列向量的線性組合,因此不改變 的列空間 (row space),但是 的線性獨立的行向量關係何以維持不變?我們的思維受「列運算」所牽絆,故難以撥雲見日看透真相。問題導引答案,如果換一個方式提問,那麼這個事實其實再明顯不過。

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LU 分解

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。LU 分解是指將 表示為兩個 階三角矩陣的乘積 , 其中 是下三角矩陣, 是上三角矩陣,如下例, 。 LU 分解的本質是高斯消去法的一種表達形式,矩陣 記錄消去法化簡 的過程,而矩陣 則儲存化簡結果 (見“高斯消去法”)。LU 分解的外表看似平淡無奇,但它可以用來解線性方程,逆矩陣和計算行列式,堪稱是最具實用價值的矩陣分解式之一。

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秩分解──目視行秩等於列秩

本文的閱讀等級:初級 矩陣的行空間的維數稱為行秩 (column rank),列空間的維數稱為列秩 (row rank)。子空間的維數由最大的線性獨立的向量數決定,“行秩=列秩”一文曾基於此性質通過操作矩陣乘法運算證明了矩陣的行秩等於列秩。證明歸證明,讀者心中可能依然困惑:「矩陣的線性獨立行向量數怎麼會恰好等於線性獨立的列向量數呢?」本文再提供一個論證,想法很簡單:利用高斯消去法挑選出矩陣的線性獨立行與列,並以一個特殊分解式呈現獨立行與獨立列。這個證明屬計算導向,雖未直接表達行秩等於列秩的幾何特性,但由所得的矩陣分解式我們可以「目視」原矩陣的行空間和列空間,兩者確實擁有相等的基底向量數。

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簡約列梯形式的唯一性

本文的閱讀等級:中級 高斯─約當法 (Gauss-Jordan method) 是線性代數中最常使用的演算法之一 (見“高斯─約當法”),它的功用是將給定矩陣 化為同階的簡約列梯形式 (reduced row echelon form),記為 。透過簡約列梯形式,不但可以解出線性方程組還能回答許多有關矩陣的基本問題,如矩陣秩、列空間基底、行空間基底以及零空間基底 (見“矩陣的四個基本子空間基底算法”)。從高斯—約當法的演算過程,我們憑直覺推斷 的簡約列梯形式是唯一的 (否則不會將之命名為 ),於是理所當然地將它視為事實。本文介紹一個運用排列矩陣與分塊矩陣的代數證明方法,透徹瞭解這整個論證過程對提昇邏輯推理能力有很大的幫助。

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特殊矩陣 (10):基本矩陣

本文的閱讀等級:初級 數百年以來,化約主義 (reductionism) 主導科學和工程研究方法論,其基本思想是將複雜的系統或現象化解為各部分的組合,透過分析各組件從而理解並描述原來的複雜系統或現象。化約主義也常見於線性代數,譬如,類似對多項式的因式分解,高斯消去法將一個可逆矩陣分解為一組基本矩陣 (elementary matrix) 之積。本文介紹基本矩陣的一般形式,證明基本矩陣是可逆的,且其逆矩陣也為基本矩陣。

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利用行列式計算矩陣秩

本文的閱讀等級:初級 知識的創新需要不斷地擺脫教條與偏見。研習教科書可以讓我們累積知識,但照單全收前人遺留的資產反而可能阻礙知識的創新,所以康德 (Immanuel Kant) 強調:「我不是敎哲學,而是敎人們哲學地思考。」本文就以每一位線性代數學者必須掌握的基本技能──計算矩陣的秩──為例說明,縱使是公認的標準作法也仍存在改進的可能。

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由簡約列梯形式判斷行空間基底

本文的閱讀等級:初級 給定一個向量集合 ,如何從其中選擇最大的線性獨立子集合 (包含最多的線性獨立向量)?這個問題也可以換個方式說,令矩陣 的行向量[1]為 ,求 的行空間基底 (因為行空間 的基底是線性獨立的)。

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