Tag Archives: 基本定理

線性代數基本定理 (四)

本文的閱讀等級:中級 線性代數的第四個基本定理與第三個定理有密切的關係,第三個定理說交互乘積矩陣 的特徵向量構成列空間 (row space) 和零空間 (nullspace) 的正交基底,而 的特徵向量則構成行空間 (column space) 和左零空間 (left nullspace) 的正交基底。第四個基本定理將原本參考標準基底的矩陣變換改為參考上述這兩組正交基底,從而得到具有對角形式的矩陣表示式。

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線性代數基本定理 (三)

本文的閱讀等級:中級 線性代數的第一個基本定理說明了實矩陣四個基本子空間的維數關係 (見“線性代數基本定理 (一)”),第二個基本定理表明四個基本子空間的正交補餘性質 (見“線性代數基本定理 (二)”)。依據實矩陣的簡約列梯形式 (reduced row echelon form),我們可以得到四個基本子空間的基底 (見“矩陣的四個基本子空間基底算法”),但我們希望進一步獲得四個子空間的正交基底,這是因為正交基底不論就推導理論或發展應用都極為有效。第三個基本定理講的就是如何求得實矩陣的四個基本子空間的正交基底。

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線性代數基本定理 (二)

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階實矩陣。我們以 表示行空間 (column sapce), 表示零空間 (nullspace)。線性代數的第一個基本定理,即秩—零度定理 (rank-nullity theorem),說明了矩陣行空間的維數 (即秩) 和零空間的維數 (即零度) 的關係 (見“線性代數基本定理 (一)”): 矩陣 的列空間 (row space) 是轉置矩陣 的行空間,故 表示 的列空間。因為行秩等於列秩 (見“行秩=列秩”),便有 。秩—零度定理可寫成 將 轉置,便有對應 的定理,如下: 其中 稱為左零空間 (left nullspace)。注意, 和 是 的子空間,但 和 是 的子空間。圖一顯示二組秩—零度定理放入矩陣 … Continue reading

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利用畫圖來證明 (二)

本文的閱讀等級:初級 假設實矩陣 是 階, 是 階,且 。有這個性質,矩陣 的秩不大於矩陣 的秩或矩陣 的秩: 也就是說,不論矩陣如何相乘,乘積的秩不會大於任何一個相乘矩陣的秩。

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線性代數基本定理 (一)

本文的閱讀等級:中級 線性代數的中心主題是建立於向量空間的線性變換,線性代數的學習目標就是要瞭解這些變換結構。向量空間是線性代數所處理的基本數學物件,而線性變換則為處理這些物件的機構,可以這麼說,線性變換將一個向量空間裡的子空間映射至另一個向量空間中的子空間。根據這個中心主題,我們可以從線性代數的諸多定理中選出一些「基本定理」,但是到底應該挑選哪些出來則未有定論,有一種說法是線性代數總共就只有四個基本定理[1]。

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