Tag Archives: 基本對稱函數

每週問題 November 7, 2016

若一個 Hermitian 矩陣的主對角元為其特徵值,則此矩陣是對角矩陣。 Let be an Hermitian matrix whose eigenvalues, including multiple appearances, are the diagonal elements , . Prove that is diagonal.

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每週問題 June 9, 2014

這是計算四階矩陣的特徵值的交互乘積 的問題,取自“2013年台大資工所碩士班招生考試試題”。 Let If are eigenvalues of , determine .

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利用牛頓恆等式聯繫特徵多項式係數與冪矩陣跡數

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階矩陣。定義 的特徵多項式為 , 其中領先係數 ,稱為首一多項式 (monic polynomial)。有時候我們也定義特徵多項式為 ,這兩種定義的差異僅在於乘入常數 。以 為例,。令 代表 的特徵值,即 的三個根,所以 亦可表示為 比較 的兩種表達式,可得係數與根關係: 上式等號右邊 (不含負號) ,,稱為基本對稱函數 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”)。

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利用 Lagrange 內插多項式推導 Vandermonde 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:中級 考慮 階 Vandermonde 矩陣 , 其中 互異。我們曾利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式導出 的逆矩陣公式 (見“Vandermonde 矩陣的逆矩陣”),但由於涉及行列式運算,推演過程因而相當繁複。本文介紹另一個較簡潔的逆矩陣推導方法──Lagrange 內插多項式 (參見“利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣”)。

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Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式

本文的閱讀等級:初級 考慮下列 階 Vandermonde 矩陣 , 記為 或 ,其中 。Vandermonde 矩陣 有一個簡單的行列式公式,如下 (見“特殊矩陣 (8):Vandermonde 矩陣”): 。 當 互異時,, 是可逆矩陣。本文利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式推導 Vandermonde 矩陣 的逆矩陣。

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特徵多項式蘊藏的訊息

本文的閱讀等級:中級 設 階矩陣 的特徵值 ,對應的特徵向量 滿足特徵方程式 。基礎線性代數主張的求解步驟是將特徵方程式寫為 我們要求特徵向量 不得為零向量,意指 是不可逆的,因此 特徵值 即為上式的解。定義矩陣 的特徵多項式為 我們以 取代 的原因是強調 是多項式的變數,而特徵值 則為 的根。有些教科書定義特徵多項式為 ,如此一來, 的領先項 的係數為 。針對給定的 階矩陣 , 可展開為 的 次多項式,如下: 特徵多項式 的係數 ,, 和矩陣 有什麼關係?它們又與 的特徵值 有何關聯?本文將回答這兩個問題。

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