Tag Archives: 基本矩陣

每週問題 January 5, 2015

這是2008年台大資訊所的碩士班入學試題。 Let . Determine . Advertisements

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答ZoneLin──關於基本列運算不保特徵值與特徵向量

網友ZoneLin留言: 周老師您好:請問如果要計算特徵向量時,如果原本的式子是 ,那可不以把矩陣 先用 row operation 化簡成 ,再算 呢?我試過好像不行,可是要如何證明 和 不相等呢?謝謝。

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無相互作用的矩陣積

本文的閱讀等級:初級 考慮下列 矩陣: 。 矩陣 共有 種排列方式,因此產生 6 個矩陣積,即 , 其中 未產生 項,我們稱這些矩陣乘積無「相互作用」(interaction)。本文要探討的問題是:無相互作用的矩陣積必須滿足何種矩陣排列規則?

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基本矩陣的幾何意義

本文的閱讀等級:中級 假設 與 為幾何向量空間 的兩個向量。請注意,以下向量皆為行向量 (column vector)。若 ,我們稱 為基本矩陣或初等矩陣 (elementary matrix),其中 是單位矩陣, 是秩─1 (rank-one) 矩陣。基本矩陣的名稱源於係每一個基本列運算 (elementary row operation) 都有一個對應的基本矩陣 (見“特殊矩陣(10):基本矩陣”)。基本矩陣是可逆的,其逆矩陣也是基本矩陣,如下: 。 本文推導基本矩陣的行列式公式、特徵值與特徵向量,並解釋基本矩陣的幾何意義。

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利用基本相似變換證明 Jordan 形式定理

本文的閱讀等級:高級 Jordan 典型形式定理是線性代數理論中最艱深的定理之一,它說:任意方陣 都相似於基本 Jordan 分塊直和所構成的 Jordan 矩陣 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)。設 有特徵值 ,我們曾經在“Jordan 形式大解讀 (下)”發展了一個以計算矩陣秩 為基礎的 Jordan 矩陣演算法,並確定 的 Jordan 形式唯一存在(若不考慮 Jordan 分塊的排序變化)。本文介紹一個採用一連串基本相似變換的證明法,它的優點是能夠讓我們清楚看見從矩陣 至其 Jordan 形式 的相似型態演變過程。這個證法雖然已有悠久的歷史,但幾乎不曾出現於教科書中;此法講究靈活運用基本相似變換,整個證明過程類似在解「俄羅斯方塊」,堪稱是線性代數中罕見的一個「益智遊戲」。

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每週問題 April 5, 2010

本週問題是從高斯消去法使用的基本矩陣重現原矩陣的行空間。 點選問題↓ Pow-April-5-10 參考解答↓ PowSol-April-5-10

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簡約列梯形式的唯一性

本文的閱讀等級:中級 高斯─約當法 (Gauss-Jordan method) 是線性代數中最常使用的演算法之一 (見“高斯─約當法”),它的功用是將給定矩陣 化為同階的簡約列梯形式 (reduced row echelon form),記為 。透過簡約列梯形式,不但可以解出線性方程組還能回答許多有關矩陣的基本問題,如矩陣秩、列空間基底、行空間基底以及零空間基底 (見“矩陣的四個基本子空間基底算法”)。從高斯—約當法的演算過程,我們憑直覺推斷 的簡約列梯形式是唯一的 (否則不會將之命名為 ),於是理所當然地將它視為事實。本文介紹一個運用排列矩陣與分塊矩陣的代數證明方法,透徹瞭解這整個論證過程對提昇邏輯推理能力有很大的幫助。

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特殊矩陣 (10):基本矩陣

本文的閱讀等級:初級 數百年以來,化約主義 (reductionism) 主導科學和工程研究方法論,其基本思想是將複雜的系統或現象化解為各部分的組合,透過分析各組件從而理解並描述原來的複雜系統或現象。化約主義也常見於線性代數,譬如,類似對多項式的因式分解,高斯消去法將一個可逆矩陣分解為一組基本矩陣 (elementary matrix) 之積。本文介紹基本矩陣的一般形式,證明基本矩陣是可逆的,且其逆矩陣也為基本矩陣。

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