Tag Archives: 外積矩陣

三維空間的旋轉矩陣

本文的閱讀等級:中級 在二維平面上,逆時針方向旋轉 徑度 (弧度,radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”) 。 不難驗證 的特徵值為 和 ,其中 ,並具有下面兩個基本性質: 旋轉矩陣 的兩個行向量 (column vector) 和 組成一個單範正交集 (orthonormal set),也就是說, 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 ,故逆旋轉矩陣為 。 對於任一實正交矩陣 ,,即得 。若 ,則 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 ,旋轉矩陣 是適當的正交矩陣。若 ,則 稱為不適當的正交矩陣,例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”) 。 本文討論常見於電腦圖學 (computer … Continue reading

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四元數與三維空間旋轉

本文的閱讀等級:中級 愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 將複數 ,其中 是實數, 是虛數單位,延伸為四元數 (quaternion),即一個實數加上三個虛部, , 其中 是實數,虛數單位 滿足基本公式 。 任一複數 與單位複數 的乘積 可以解讀為點 在二維複數平面逆時針旋轉 徑度 (見“複數的矩陣表示”)。類似地,四元數亦可表示三維空間旋轉,不過這個性質不像複數蘊含平面旋轉那般明顯,因為實在難以想像處於 的四元數如何對 向量執行運算。

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