Tag Archives: 容斥定理

本文的閱讀等級：中級 令 為一個從向量空間 映射至向量空間 的線性變換， 稱為定義域 (domain)， 稱為到達域 (codomain)。我們說 的值域 (range 或 image) 為 且 的核 (kernel) 或零空間 (nullspace) 為 。 值域 是 的一個子空間，零空間 是 的一個子空間 (見“子空間的辨識”)。假設 。如果 是 的一組基底，將它擴充為 的一組基底，，我們聲稱 組成 的一組基底。因為 ，我們只需要證明 是一個線性獨立集。考慮 。 因此，。但 是線性獨立集，意味 ，因此 ，推得 … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 在線性代數中，一 階複矩陣 可以視為線性算子 (linear operator)，。線性算子 的值域是矩陣 的行空間，記作 ；線性算子 的核是矩陣 的零空間，記作 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。若 是一可逆矩陣，則 且 ，其中 。若 是不可逆矩陣，則 未能充滿整個 而且 包含非零向量，[1] 且 。秩─零度定理聲明矩陣的秩 (rank) 與零度 (nullity) 之和等於線性算子的定義域的維數 (見“運用輸入輸出模型活化秩─零度定理”)： ， 其中 ，。另一方面，容斥定理闡明兩個子空間與子空間和以及子空間交集的維數關係 (見“補子空間與直和”)。容斥定理套用至行空間 與零空間 ，如下： 。 因此，，可以推論 同義於 。這個時候，在向量空間 ， 是 的一個補子空間，反之亦然，記作 … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 向量空間 中有二個特別的子空間：一是僅包含零向量 的子空間，記為 ，另一個是 自身。通常，我們感興趣的子空間既非 亦非 ，而是介於兩者之間的那些子空間。往下討論之前，先準備必要的記號與定義。設 和 為定義於向量空間 中的二個子空間，表示為 ，。如果向量 屬於子空間 ，則 也屬於 ，這指出任意子空間都包含 ，因此 。令 代表 和 的交集。若 ，我們稱 與 不交集 (disjoint)。

本文的閱讀等級：初級 在“利用畫圖來證明 (二)”，我們證明了對於任意矩陣 和 ，乘積 的秩不會大於任何一個相乘矩陣的秩，即 我們以繪圖方式解釋矩陣乘法如何映射子空間，並利用秩—零度定理 (見“ 線性代數基本定理 (一)”) 聯繫相關子空間的維數。我們自然繼續問：矩陣之和 的秩與 和 的秩又有何關係？