Tag Archives: 實對稱矩陣

Jacobi 特徵值算法

Posted on 09/17/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 給定一個 階實矩陣 ，使用 Householder 變換可求得一個正交矩陣 (orthogonal matrix) ，，使得 為三對角 (tridiagonal) 矩陣，其中 ， (見“特殊矩陣 (19)：Hessenberg 矩陣”)。此外，如果 是實對稱矩陣，利用旋轉矩陣可求出一個正交矩陣 使得 為對角矩陣。因為 正交相似於 ， 的主對角元即為 的特徵值。德國數學家雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi) 於1846年公開這個對角化實對稱矩陣的計算方法，後人稱之為 Jacobi 特徵值算法。

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每週問題 June 16, 2014

Posted on 06/16/2014 by ccjou

這是一個非常重要的命題：實對稱矩陣對應相異特徵值的特徵向量必定正交。 Let be a real symmetric matrix. If and are eigenvectors of , corresponding to distinct eigenvalues, show that and are orthogonal.

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轉置與共軛轉置

Posted on 02/27/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 矩陣具有加法與純量乘法運算。除了這兩個源自純量算術的運算，矩陣還有一個獨特的運算，稱為轉置 (transpose)。令 為 階矩陣。我們定義 的轉置，記作 ，為一個 階矩陣，其中 。換句話說，將 的列行對調即得轉置矩陣 ，如下例， 。 明顯地，。若 表示成分塊矩陣，則 不僅置換列行分塊，每一個分塊也必須隨之轉置，例如， 。 一般而言，轉置適用於實矩陣。在許多應用中，複矩陣的轉置常會附加共軛運算，稱為共軛轉置 (conjugate transpose)。複數 的共軛定義為 ，其中 且 。類似複數的共軛運算， 的共軛矩陣為 ，共軛轉置則為 ，或簡記為 。例如， 。 如同轉置運算，連續兩次共軛轉置不改變矩陣，。若 是實矩陣，共軛轉置退化成轉置，即 。下面我們討論 (共軛) 轉置與其他矩陣運算的結合，並介紹一些由 (共軛) 轉置所界定的特殊矩陣。

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每週問題 February 18, 2013

Posted on 02/18/2013 by ccjou

這是關於實對稱可交換矩陣的特徵值問題。 Let and be real symmetric matrices. If is symmetric, show that every eigenvalue of can be written as , where is an eigenvalue of and is an eigenvalue of .

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每週問題 February 11, 2013

Posted on 02/11/2013 by ccjou

這是從實對稱矩陣的行列式判斷二次型問題。 Let be an real symmetric matrix. If , show that for some .

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共變異數矩陣與常態分布

Posted on 01/11/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 常態分布 (normal distribution)，也稱高斯分布 (Gaussian distribution)，其機率密度函數為 ， 其中 是平均數 (mean)， 是變異數 (variance)。對於 ，多變量常態分布的形式如下 (見“ 多變量常態分布”)： ， 其中 是平均數向量， 是 階共變異數矩陣 (covariance matrix)， 是 的行列式。常態分布是一種應用相當廣泛的連續型機率分布，原因之一是大自然產生的變數經常具有常態分布，譬如，某城市成年男子的身高，某田地產出的蘿蔔重量；另外，對於從母體隨機抽取出的樣本，當樣本數增大時，樣本平均數的分布逼近常態分布[1] (見“ 樣本平均數、變異數和共變異數”)。圖1為 的一個常態分布樣本。本文從線性代數觀點探討常態分布與共變異數矩陣的幾何涵義。

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半正定矩陣的判別方法

Posted on 01/10/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階實對稱矩陣。若任一向量 使得二次型 ，我們稱 是正定 (positive definite) 矩陣 (見“特殊矩陣 (6)：正定矩陣”)。若任一向量 皆滿足 ，則稱 為半正定 (positive semidefinite) 矩陣。本文介紹幾個半正定矩陣的判別方法。如欲將本文內容推廣至 Hermitian 複矩陣，僅須將實數系 替換為複數系 ，並且將轉置 替換為共軛轉置 即可。

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答謝一誠──關於判斷正定、負定或未定二次型的問題

Posted on 01/07/2013 by ccjou

網友謝一誠留言： 老師您好，我想請問周老師，關於Quadratic Forms的定理。在 Elementary Linear Algebra (作者Howard Anton，Chris Rorres，第9版，2005)，書中Exercise set 9.5 (page 486)： 11. In each part, classify the quadratic form as positive definite, positive semidefinite, negative definite, negative semidefinite, or indefinite. (f) 方法一：用此書中定理9.5.2 (page 482) A symmetric matrix is … Continue reading →

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實對稱矩陣特徵值和特徵向量的探索解法

Posted on 12/14/2012 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 實對稱矩陣是當今應用最廣的一種特殊矩陣，一方面因為實對稱矩陣「天生」就出現在許多場合 (見“Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例”)，另一方面因為它具備一些良好的性質，包括特徵值為實數，而且不論特徵值是否相重，存在完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量集，也就是說，實對稱矩陣可正交對角化 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。本文介紹求解實對稱矩陣特徵值和特徵向量的探索法。這裡所指的探索法包含幾個常用的技巧：(1) 尋找矩陣的特別模式；(2) 觀察出特徵值和特徵向量 (見“肉眼判讀特徵向量”)；(3) 選擇有效的變數；(4) 利用對稱性 (泛指一般對稱性)；(5) 利用特徵值性質及特徵向量的正交性。為甚麼要特別指定實對稱矩陣？因為實對稱矩陣有完全正交的特徵向量集，這個限制可大大增強探索法的威力。下面選取的例子都具有簡單的形式，甚或包含許多零元，目的在彰顯解決實對稱矩陣特徵分析問題的重要技巧，讀者可以從中歸納出應付其他情況的有效策略。不過，探索法所能解決的問題種類有限，當矩陣尺寸增大或不具備特殊模式時，我們仍須仰賴數值方法。此外，請讀者不要將本文介紹的探索法當作唯一的好方法。在討論之前，我引用拉森 (Loren C. Larson) 的一段話[1]： 一個問題，通常可有幾種解法，並且常有一些明顯不同的探索法。所以不要以「先入為主」之見處理每個問題，更不要帶有某個問題只能用某一種特殊的探索法來求解的框框。提出一個問題時，關鍵是把它解出來。正是用一切方法去解題而累積了經驗，才使人們得到可能解題成功的高度洞察力。

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Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例

Posted on 11/08/2012 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階矩陣。若 ，其中 ，即 ，我們稱 為 Hermitian 矩陣 (見“特殊矩陣 (9)：Hermitian 矩陣”)。若所有 都是實數，則 ，實 Hermitian 矩陣即為實對稱矩陣。Hermitian 矩陣和實對稱矩陣是目前應用最廣的特殊矩陣，原因有二：它們具備許多美好的特徵分析性質 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”，“Hermitian 矩陣特徵值的變化界定”)，以及它們「天生地」出現在多樣應用場合。下面列舉一些實例，包括 Hessian 矩陣、共變異數矩陣、鄰接矩陣、二次型和雙線性形式。

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