Tag Archives: 對偶基底

每週問題 April 14, 2014

這是關於對偶基底的問題。 The vectors , , and form a basis of . If is the dual basis, and if , find , , and . Advertisements

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雙重對偶

本文的閱讀等級:高級 令 為一個有限維向量空間。對偶空間 (dual space) 是定義於 的所有線性泛函所形成的向量空間 (見“線性泛函與對偶空間”)。對偶空間 同構於 (isomorphic) 向量空間 ,這意味 ,具體的表現是:給定 的任一組基底 ,在 上存在唯一與之對應的對偶基底 。反過來說,對偶空間 的任一組基底是否為 的某一組基底的對偶基底?回答這個問題的關鍵在於引進一個新概念,名為雙重對偶 (double dual) 或第二對偶 (second dual)。顧名思義,雙重對偶就是套用兩次對偶於向量空間 ,即對偶空間 的對偶空間,記為 或 。換句話說,雙重對偶 是定義於 的線性泛函形成的向量空間 的線性泛函所構成的向量空間。本文的主題在探討向量空間 和雙重對偶 之間的關係,預備知識包括線性泛函、對偶空間和對偶基底,請讀者先參閱“線性變換的轉置”的前半段。   何謂對偶空間的對偶空間?如何理解這個概念?聽聽莊子怎麼說。《莊子•齊物論》記載「莊周夢蝶」的故事: 昔者莊周夢為蝴蝶,栩栩然蝴蝶也,自喻適志與!不知周也。俄然覺,則蘧蘧然周也。不知周之夢為蝴蝶與,蝴蝶之夢為周與?周與蝴蝶,則必有分矣。此之謂物化。 在電影《全面啟動》(Inception,中國大陸譯《盜夢空間》),李奧納多•狄卡­皮歐 (Leonardo DiCaprio) 飾演的唐姆•考柏 … Continue reading

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線性變換的轉置

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣且 和 是 維向量。通過矩陣乘法,矩陣 將 維向量 映射至 維向量 。矩陣 是一個從幾何向量空間 映至 的線性變換,因為矩陣乘法滿足 且 , 是純量。類似地, 階轉置矩陣 (transpose) 是一個從 映至 的線性變換 (見“轉置矩陣的意義”)。既然每一個矩陣都是線性變換,我們可以反過來問:對於線性變換 ,其中 和 是有限維向量空間,如何定義線性變換 的轉置變換?1970年代以前出版的線性代數教本經常從線性變換的轉置來定義矩陣的轉置[1]。這套論述固然嚴謹扎實,但必須建立在線性泛函 (linear functional) 和對偶空間 (dual space) 的基礎上,對於非數學專業的讀者多少總會增加負擔,故現今大概只有專為數學系課程撰寫的教科書才會納入這個論點[2]。在開始討論之前,我們先回顧相關的線性泛函和對偶空間的預備知識 (詳見 “線性泛函與對偶空間”)。

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右特徵向量與左特徵向量

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若 ,,滿足 ,我們稱 是 的一個特徵向量, 是對應的特徵值。淺白地說,特徵向量 經過矩陣 (線性變換) 映射得到的像 (image) 不改變方向,惟長度伸縮了 倍。尼采在《查拉圖斯特拉如是說》裡說: 知識的擁護者必須不僅愛他的敵人,同樣地也必須能夠恨他的朋友。假如你總是自認是一位學生,那麼你從一位老師所獲得的將是非常貧乏的。 尼采的意思是,學生應當審問慎思,才能分辨老師和課本說的話究竟是教條戒律還是客觀真理。在線性代數中,我們總是默認向量是行向量 (column vector),故習以為常地在矩陣的右邊乘一行向量。倘若我們在矩陣的左邊乘一列向量 (row vector),是否也可以平行發展出一套特徵向量與特徵值理論?雖然教科書鮮少提及,但矩陣左乘一列向量並不是一個毫無意義的幼稚想法,下面我們就來探討這個問題。

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線性泛函與對偶空間

本文的閱讀等級:中級 考慮包含 個變數的 個線性聯立方程: 將列指標去除,針對單一方程式 , 等號左邊算式有兩種解釋方式。我們可以單純地將 看成是向量點積 (dot product,或稱內積),也就是 階矩陣和 階矩陣乘法: 。 如果所有的係數 與未知數 皆為實數,由此可推演出 的列空間 (row space) 為零空間 (nullspace) 的正交補餘 (見“線性代數基本定理(二)”)。另一種解釋方式是將等號左側視為 維向量 的函數,表示如下: 。 很容易確認 是一個從 映至 的線性變換,記為 。為了與一般線性變換有所區隔,數學家稱這種特殊的線性變換為線性泛函 (linear functional),簡而言之,線性泛函即是將向量映射至純量的線性函數。

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